Номер 409, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Определение степени с натуральным показателем. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 409, страница 100.

409. (Задача исследование.) Найдите всевозможные значения а, где а − натуральное число, при которых число 90 является наименьшим общим кратным чисел 15 и а.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа а.

3) Сделайте вывод о значениях числа а.

1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15.

Разложение числа 15 на простые множители выполняется следующим образом: $15 = 3 \cdot 5$.

Разложение числа 90 на простые множители: $90 = 9 \cdot 10 = (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Ответ: $15 = 3 \cdot 5$; $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.

2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа a.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел находится путем взятия каждого простого множителя в наибольшей степени, в которой он встречается в разложении любого из этих чисел. Нам дано, что НОК($15, a$) = 90.

Используем канонические разложения чисел 15 и 90: $15 = 2^0 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ $90 = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ Пусть разложение натурального числа $a$ на простые множители имеет вид $a = 2^x \cdot 3^y \cdot 5^z \cdot k$, где $k$ — произведение множителей, отличных от 2, 3 и 5.

Тогда НОК($15, a$) = $2^{\max(0, x)} \cdot 3^{\max(1, y)} \cdot 5^{\max(1, z)} \cdot k$. Сравнивая это с разложением числа 90, получаем систему условий для степеней:

- Для простого множителя 2: $\max(0, x) = 1$. Это равенство выполняется только при $x = 1$. Значит, в разложение числа $a$ должен входить множитель $2^1$.

- Для простого множителя 3: $\max(1, y) = 2$. Это равенство выполняется только при $y = 2$. Значит, в разложение числа $a$ должен входить множитель $3^2$.

- Для простого множителя 5: $\max(1, z) = 1$. Это равенство выполняется при $z = 0$ или $z = 1$. Значит, в разложение числа $a$ может входить множитель $5^0$ (т.е. множитель 5 отсутствует) или $5^1$.

- Поскольку в разложении числа 90 нет других простых множителей, то и в разложении числа $a$ их быть не должно, иначе они вошли бы в НОК. Следовательно, $k=1$.

Ответ: В разложение числа $a$ обязательно должны входить множители $2$ в первой степени ($2^1$) и $3$ во второй степени ($3^2$). Множитель $5$ может входить в разложение в нулевой ($5^0$) или первой ($5^1$) степени. Других простых множителей в разложении числа $a$ нет.

3) Сделайте вывод о значениях числа a.

Основываясь на выводах из пункта 2, разложение числа $a$ на простые множители имеет вид $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^z$, где показатель степени $z$ может быть равен 0 или 1.

Рассмотрим все возможные случаи:

- Случай 1: $z=0$. $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^0 = 2 \cdot 9 \cdot 1 = 18$. Проверим: НОК(15, 18) = НОК($3 \cdot 5$, $2 \cdot 3^2$) = $2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 90$. Данное значение подходит.

- Случай 2: $z=1$. $a = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$. Проверим: НОК(15, 90) = 90, так как 90 кратно 15. Данное значение также подходит.

Таким образом, существуют два натуральных числа $a$, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Возможные значения числа $a$: 18, 90.