Номер 412, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Определение степени с натуральным показателем. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 412, страница 100.

412. (Для работы в парах.) Даны выражения:

a² + 1, −a⁴, 3 + (5 − a)², −a − a³, −a² + 8, 3a + 4, a⁴ + a² + 8, −a⁶ − 4a⁸ − 1, −7a − a, −a⁸ − 9.

Какие из этих выражений принимают:

а) только положительные значения;

б) только отрицательные значения?

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто − задание б), и выполните их.

2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнено задание.

3) Исправьте ошибки, если они допущены.

а) только положительные значения;

Чтобы выражение принимало только положительные значения, оно должно быть строго больше нуля при любом значении переменной $a$. Проанализируем каждое выражение:

• Выражение $a^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $a^2$ всегда неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Если к неотрицательному числу прибавить 1, результат будет больше или равен 1: $a^2 + 1 \ge 1$. Так как $1 > 0$, выражение $a^2 + 1$ всегда положительно.
• Выражение $3 + (5 - a)^2$. Аналогично, выражение в скобках в квадрате $(5 - a)^2$ всегда неотрицательно: $(5 - a)^2 \ge 0$. Прибавляя 3, получаем $3 + (5 - a)^2 \ge 3$. Так как $3 > 0$, выражение $3 + (5 - a)^2$ всегда положительно.
• Выражение $a^4 + a^2 + 8$. Степени с четными показателями $a^4$ и $a^2$ всегда неотрицательны: $a^4 \ge 0$ и $a^2 \ge 0$. Их сумма также неотрицательна: $a^4 + a^2 \ge 0$. Прибавляя 8, получаем $a^4 + a^2 + 8 \ge 8$. Так как $8 > 0$, выражение $a^4 + a^2 + 8$ всегда положительно.

Остальные выражения из списка могут принимать отрицательные значения или ноль (например, $-a^2+8 = -8$ при $a=4$; $3a+4 = -2$ при $a=-2$).

Ответ: $a^2 + 1$, $3 + (5 - a)^2$, $a^4 + a^2 + 8$.

б) только отрицательные значения?

Чтобы выражение принимало только отрицательные значения, оно должно быть строго меньше нуля при любом значении переменной $a$. Проанализируем каждое выражение:

• Выражение $-a^6 - 4a^8 - 1$. Вынесем минус за скобки: $-(a^6 + 4a^8 + 1)$. Степени с четным показателем $a^6$ и $a^8$ неотрицательны: $a^6 \ge 0$ и $a^8 \ge 0$. Поэтому выражение в скобках $a^6 + 4a^8 + 1 \ge 0 + 0 + 1$, то есть $a^6 + 4a^8 + 1 \ge 1$. Это означает, что выражение в скобках всегда положительно. Следовательно, исходное выражение, являясь противоположным ему по знаку, всегда отрицательно (точнее, $-(a^6 + 4a^8 + 1) \le -1$).
• Выражение $-a^8 - 9$. Степень с четным показателем $a^8$ всегда неотрицательна: $a^8 \ge 0$. Тогда $-a^8$ будет неположительным: $-a^8 \le 0$. Вычитая 9, получаем $-a^8 - 9 \le -9$. Так как $-9 < 0$, выражение $-a^8 - 9$ всегда отрицательно.

Остальные выражения могут принимать положительные значения или ноль (например, $-a^4=0$ при $a=0$; $-a-a^3=2$ при $a=-1$).

Ответ: $-a^6 - 4a^8 - 1$, $-a^8 - 9$.