Номер 407, страница 100 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

18. Определение степени с натуральным показателем. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 407, страница 100.

407. Окно в старинном особняке имеет форму прямоугольника, завершающегося полукругом (рис. 72). Составьте формулу для вычисления его площади S (в квадратных сантиметрах), если известно, что основание прямоугольника равно а см, высота прямоугольника в полтора раза больше основания. Найдите площадь окна, если а = 80. (Указание. Площадь круга равна πr ², где r − радиус круга, π ≈ 3,14.)

Составление формулы для вычисления площади S

Общая площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольной части $S_{пр}$ и площади полукруга $S_{пк}$.
$S = S_{пр} + S_{пк}$

1. Найдем площадь прямоугольника $S_{пр}$.
По условию, основание прямоугольника равно $a$ см.
Высота прямоугольника в полтора раза больше основания, следовательно, она равна $1.5 \cdot a = 1.5a$ см.
Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту:
$S_{пр} = a \cdot 1.5a = 1.5a^2$

2. Найдем площадь полукруга $S_{пк}$.
Полукруг завершает прямоугольник, значит, его диаметр равен основанию прямоугольника, то есть $a$ см.
Радиус $r$ полукруга равен половине диаметра: $r = \frac{a}{2}$.
Площадь целого круга вычисляется по формуле $\pi r^2$. Площадь полукруга составляет половину площади круга:
$S_{пк} = \frac{1}{2} \pi r^2$
Подставим в формулу выражение для радиуса $r = \frac{a}{2}$:
$S_{пк} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$

3. Составим итоговую формулу для площади всего окна $S$.
$S = S_{пр} + S_{пк} = 1.5a^2 + \frac{\pi a^2}{8}$
Можно также вынести за скобки общий множитель $a^2$:
$S = a^2 \left(1.5 + \frac{\pi}{8}\right)$
Ответ: Формула для вычисления площади окна: $S = 1.5a^2 + \frac{\pi a^2}{8}$.

Нахождение площади окна, если a = 80

Теперь вычислим площадь окна, подставив в полученную формулу значения $a = 80$ и $\pi \approx 3.14$.
$S = 1.5 \cdot 80^2 + \frac{3.14 \cdot 80^2}{8}$

Сначала вычислим значение $80^2$:
$80^2 = 80 \cdot 80 = 6400$

Теперь подставим это значение в формулу:
$S = 1.5 \cdot 6400 + \frac{3.14 \cdot 6400}{8}$

Вычислим каждое слагаемое:
1) Площадь прямоугольника: $S_{пр} = 1.5 \cdot 6400 = 9600$ см$^2$.
2) Площадь полукруга: $S_{пк} = \frac{3.14 \cdot 6400}{8} = 3.14 \cdot 800 = 2512$ см$^2$.

Сложим полученные площади:
$S = 9600 + 2512 = 12112$ см$^2$.
Ответ: Площадь окна равна $12112$ см$^2$.