Номер 417, страница 101 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

417. Каково взаимное расположение графиков функций:

а) у = − 12х + 3 и y = −12x − 3; б) y = 23x + 4 и y = −23x + 4?

Постройте схематически графики данных функций.

Для определения взаимного расположения графиков линейных функций вида $y = kx + b$ необходимо сравнить их угловые коэффициенты $k$ и свободные члены $b$ (координата пересечения с осью $Oy$).

• Если угловые коэффициенты равны ($k_1 = k_2$), а свободные члены различны ($b_1 \ne b_2$), то графики функций — это параллельные прямые.
• Если угловые коэффициенты различны ($k_1 \ne k_2$), то графики функций — это пересекающиеся прямые.
• Если и угловые коэффициенты, и свободные члены равны ($k_1 = k_2$ и $b_1 = b_2$), то графики совпадают.

Рассмотрим функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$.

Для первой функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$ имеем: угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_1 = 3$.

Для второй функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$ имеем: угловой коэффициент $k_2 = -\frac{1}{2}$, свободный член $b_2 = -3$.

Сравниваем коэффициенты: $k_1 = k_2 = -\frac{1}{2}$ и $b_1 \ne b_2$ (так как $3 \ne -3$). Согласно правилу, если угловые коэффициенты равны, а свободные члены нет, то прямые параллельны.

Для построения схематического графика найдем по две точки для каждой прямой. Для построения прямой достаточно двух точек.

Для графика функции $y = -\frac{1}{2}x + 3$:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.

Для графика функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$:

• При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0; -3)$.
• При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = -1 - 3 = -4$. Получаем точку $(2; -4)$.

На координатной плоскости строим первую прямую через точки $(0; 3)$ и $(2; 2)$, а вторую — через точки $(0; -3)$ и $(2; -4)$. Мы увидим две параллельные прямые, убывающие при возрастании $x$ (так как $k < 0$).

Ответ: Графики функций являются параллельными прямыми.

Рассмотрим функции $y = \frac{2}{3}x + 4$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$.

Для первой функции $y = \frac{2}{3}x + 4$ имеем: угловой коэффициент $k_1 = \frac{2}{3}$, свободный член $b_1 = 4$.

Для второй функции $y = -\frac{2}{3}x + 4$ имеем: угловой коэффициент $k_2 = -\frac{2}{3}$, свободный член $b_2 = 4$.

Сравниваем коэффициенты: $k_1 \ne k_2$ (так как $\frac{2}{3} \ne -\frac{2}{3}$). Согласно правилу, если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются.

Так как свободные члены равны ($b_1 = b_2 = 4$), то точка пересечения этих прямых находится на оси ординат (оси $Oy$) и имеет координаты $(0; 4)$.

Для построения схематического графика найдем еще по одной точке для каждой прямой.

Для графика функции $y = \frac{2}{3}x + 4$:

• Мы уже знаем одну точку — $(0; 4)$.
• При $x = 3$, $y = \frac{2}{3} \cdot 3 + 4 = 2 + 4 = 6$. Получаем точку $(3; 6)$.

Для графика функции $y = -\frac{2}{3}x + 4$:

• Мы уже знаем одну точку — $(0; 4)$.
• При $x = 3$, $y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + 4 = -2 + 4 = 2$. Получаем точку $(3; 2)$.

На координатной плоскости строим первую прямую через точки $(0; 4)$ и $(3; 6)$, а вторую — через точки $(0; 4)$ и $(3; 2)$. Мы увидим две прямые, пересекающиеся в точке $(0; 4)$. Первая прямая возрастает (так как $k_1 > 0$), а вторая убывает (так как $k_2 < 0$).

Ответ: Графики функций являются пересекающимися прямыми.