Номер 420, страница 103 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

420. Представьте выражение а¹⁵ в виде произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, одна из которых равна:

а) а⁶; б) а⁹; в) а²; г) а¹⁴.

Для того чтобы представить выражение $a^{15}$ в виде произведения двух степеней с одинаковым основанием $a$, мы используем свойство умножения степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Задача сводится к нахождению такого показателя степени $x$, чтобы при умножении на заданную степень $a^k$ получилось $a^{15}$. То есть, мы ищем $a^x$ такое, что $a^k \cdot a^x = a^{15}$, что равносильно уравнению $k+x = 15$.

а)

Задан один из множителей: $a^6$. Найдем второй множитель $a^x$, такой, что их произведение равно $a^{15}$.

$a^6 \cdot a^x = a^{15}$

Согласно свойству умножения степеней, сумма их показателей должна быть равна 15:

$6 + x = 15$

Отсюда находим $x$:

$x = 15 - 6 = 9$

Значит, второй множитель равен $a^9$. Таким образом, искомое произведение: $a^6 \cdot a^9$.
Ответ: $a^{15} = a^6 \cdot a^9$.

б)

Задан один из множителей: $a^9$. Найдем второй множитель $a^x$.

$a^9 \cdot a^x = a^{15}$

Составим уравнение для показателей степеней:

$9 + x = 15$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 15 - 9 = 6$

Второй множитель равен $a^6$. Искомое произведение: $a^9 \cdot a^6$.
Ответ: $a^{15} = a^9 \cdot a^6$.

в)

Задан один из множителей: $a^2$. Найдем второй множитель $a^x$.

$a^2 \cdot a^x = a^{15}$

Составим уравнение для показателей степеней:

$2 + x = 15$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 15 - 2 = 13$

Второй множитель равен $a^{13}$. Искомое произведение: $a^2 \cdot a^{13}$.
Ответ: $a^{15} = a^2 \cdot a^{13}$.

г)

Задан один из множителей: $a^{14}$. Найдем второй множитель $a^x$.

$a^{14} \cdot a^x = a^{15}$

Составим уравнение для показателей степеней:

$14 + x = 15$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 15 - 14 = 1$

Второй множитель равен $a^1$ или просто $a$. Искомое произведение: $a^{14} \cdot a$.
Ответ: $a^{15} = a^{14} \cdot a$.