Номер 422, страница 104 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

19. Умножение и деление степеней. § 6. Степень и её свойства. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 422, страница 104.

422. Представьте выражение х⁶ в виде произведения двух степеней с основанием х всеми возможными способами.

Для того чтобы представить выражение $x^6$ в виде произведения двух степеней с основанием $x$, мы воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$. Таким образом, задача сводится к нахождению двух показателей степени, $a$ и $b$, таких, что их сумма равна 6.

В условии задачи не указано, какими числами могут быть показатели степеней. Если предположить, что показатели могут быть любыми целыми (включая отрицательные и ноль) или даже дробными числами, то существует бесконечное множество решений. Например, $x^7 \cdot x^{-1} = x^6$ или $x^{2.5} \cdot x^{3.5} = x^6$. Однако в рамках школьного курса, если не оговорено иное, под "степенями" обычно понимают степени с натуральными показателями (целыми положительными числами: 1, 2, 3, ...). При таком условии мы можем перечислить все возможные способы.

Найдем все упорядоченные пары натуральных чисел $(a, b)$, для которых выполняется равенство $a+b=6$, и запишем соответствующие им произведения:

• Пара (1, 5): $1 + 5 = 6 \implies x^6 = x^1 \cdot x^5 = x \cdot x^5$
• Пара (2, 4): $2 + 4 = 6 \implies x^6 = x^2 \cdot x^4$
• Пара (3, 3): $3 + 3 = 6 \implies x^6 = x^3 \cdot x^3$
• Пара (4, 2): $4 + 2 = 6 \implies x^6 = x^4 \cdot x^2$
• Пара (5, 1): $5 + 1 = 6 \implies x^6 = x^5 \cdot x^1 = x^5 \cdot x$

Мы получили 5 различных способов представления выражения $x^6$ в виде произведения двух степеней с натуральными показателями, учитывая порядок множителей.

Ответ: $x \cdot x^5$; $x^2 \cdot x^4$; $x^3 \cdot x^3$; $x^4 \cdot x^2$; $x^5 \cdot x$.