Страница 90 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

361. Рыболов пошёл из дома на озеро, где ловил рыбу. Затем он возвратился обратно. График движения рыболова показан на рисунке 68. Узнайте по графику:

а) каково расстояние от дома до озера;

б) сколько часов шёл рыболов до озера и сколько часов он затратил на обратный путь;

в) сколько часов рыболов был на озере;

г) на каком расстоянии от дома был рыболов через 1 ч после выхода из дома;

д) через сколько часов после выхода рыболов был на расстоянии 6 км от дома;

е) какова средняя скорость рыболова на пути к озеру и какова на обратном пути.

а) каково расстояние от дома до озера;

На графике зависимость расстояния от дома $s$ (в км) от времени $t$ (в ч). Путь от дома до озера представляет собой начальный участок графика, где расстояние увеличивается. Максимальное расстояние от дома, которого достиг рыболов, и есть расстояние до озера. Из графика видно, что наибольшее значение по оси $s$ равно 8 км.

Ответ: расстояние от дома до озера составляет 8 км.

б) сколько часов шёл рыболов до озера и сколько часов он затратил на обратный путь;

Движение к озеру показано на графике как восходящая линия от начала координат. Она начинается в $t=0$ ч и заканчивается в $t=2$ ч. Следовательно, время, затраченное на путь до озера, равно $2 - 0 = 2$ часа.

Обратный путь показан на графике как нисходящая линия, где расстояние до дома уменьшается. Этот участок начинается в $t=8$ ч и заканчивается в $t=9$ ч, когда расстояние становится равным нулю. Следовательно, время, затраченное на обратный путь, равно $9 - 8 = 1$ час.

Ответ: 2 часа шёл до озера и 1 час затратил на обратный путь.

в) сколько часов рыболов был на озере;

Время, проведенное на озере, соответствует участку графика, где расстояние от дома не менялось. Это горизонтальная линия на уровне $s=8$ км. Этот участок начинается в момент времени $t=2$ ч и заканчивается в $t=8$ ч. Продолжительность этого периода составляет $8 - 2 = 6$ часов.

Ответ: рыболов был на озере 6 часов.

г) на каком расстоянии от дома был рыболов через 1 ч после выхода из дома;

Через 1 час после выхода рыболов всё ещё шёл к озеру. Движение на этом участке было равномерным, так как график представляет собой прямую линию. За 2 часа рыболов прошел 8 км. Можно найти его скорость на этом участке: $v = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4$ км/ч. Тогда за 1 час он прошел расстояние $s = v \cdot t = 4 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4$ км. Также это значение можно найти непосредственно по графику, найдя точку на оси $s$, соответствующую $t=1$ ч.

Ответ: через 1 час после выхода рыболов был на расстоянии 4 км от дома.

д) через сколько часов после выхода был рыболов на расстоянии 6 км от дома;

На расстоянии 6 км от дома рыболов был дважды: по пути на озеро и на обратном пути.

1. По пути на озеро. Скорость на этом участке составляла 4 км/ч. Время, чтобы пройти 6 км, находим по формуле $t = \frac{s}{v}$: $t_1 = \frac{6 \text{ км}}{4 \text{ км/ч}} = 1,5$ ч.

2. На обратном пути. Рыболов начал возвращаться в $t=8$ ч с расстояния 8 км. Ему нужно было оказаться на расстоянии 6 км от дома, то есть пройти $8 - 6 = 2$ км от озера. Скорость на обратном пути была $v_{обр} = \frac{8 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 8$ км/ч. Время, чтобы пройти 2 км: $t_{пройдено} = \frac{2 \text{ км}}{8 \text{ км/ч}} = 0,25$ ч. Этот отрезок времени нужно прибавить к моменту начала обратного пути: $t_2 = 8 \text{ ч} + 0,25 \text{ ч} = 8,25$ ч.

Ответ: через 1,5 часа и через 8,25 часа после выхода из дома.

е) какова средняя скорость рыболова на пути к озеру и какова на обратном пути.

Средняя скорость вычисляется как отношение пройденного пути ко времени, затраченному на этот путь $v_{ср} = \frac{S}{t}$.

На пути к озеру: пройденный путь $S_1 = 8$ км, время в пути $t_1 = 2$ ч. Средняя скорость $v_1 = \frac{S_1}{t_1} = \frac{8 \text{ км}}{2 \text{ ч}} = 4$ км/ч.

На обратном пути: пройденный путь $S_2 = 8$ км, время в пути $t_2 = 1$ ч. Средняя скорость $v_2 = \frac{S_2}{t_2} = \frac{8 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 8$ км/ч.

Ответ: средняя скорость на пути к озеру — 4 км/ч, а на обратном пути — 8 км/ч.

362. Изучая зависимость объёма V жидкости в сосуде от высоты h её уровня, получили таблицу:

Постройте график функции V от h. Узнайте по графику:

а) сколько литров жидкости налили в сосуд, если высота уровня стала равной 5 см; 10 см;

б) какой будет высота уровня жидкости в сосуде, если в него налить 4 л; 10 л.

Для решения задачи построим график зависимости объёма $V$ от высоты $h$. В прямоугольной системе координат по оси абсцисс будем откладывать значения высоты $h$ (в см), а по оси ординат — объём $V$ (в л). Отметим точки, координаты которых даны в таблице: $(3; 1,2)$, $(6; 3,1)$, $(9; 5,6)$, $(12; 9,7)$, $(15; 14,7)$, $(18; 21)$. Соединим эти точки плавной линией.

Теперь, используя полученный график, найдём требуемые значения.

а) Чтобы узнать, сколько литров жидкости налили в сосуд при определённой высоте, нужно найти на горизонтальной оси (оси $h$) заданное значение высоты, провести вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до вертикальной оси (оси $V$). Точка пересечения с осью $V$ покажет искомый объём.

• При $h = 5$ см: находим на оси $h$ значение 5. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $V$. Получаем значение объёма, приблизительно равное 2,5 л.
• При $h = 10$ см: находим на оси $h$ значение 10. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $V$. Получаем значение объёма, приблизительно равное 7 л.

Ответ: если высота уровня стала равной 5 см, то в сосуд налили примерно 2,5 л жидкости; если высота стала равной 10 см, то налили примерно 7 л.

б) Чтобы узнать, какой будет высота уровня жидкости при определённом объёме, нужно найти на вертикальной оси (оси $V$) заданное значение объёма, провести горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести вертикальную линию до горизонтальной оси (оси $h$). Точка пересечения с осью $h$ покажет искомую высоту.

• При $V = 4$ л: находим на оси $V$ значение 4. Проводим горизонтальную линию до графика и опускаемся к оси $h$. Получаем значение высоты, приблизительно равное 7,5 см.
• При $V = 10$ л: находим на оси $V$ значение 10. Проводим горизонтальную линию до графика и опускаемся к оси $h$. Получаем значение высоты, приблизительно равное 12,2 см.

Ответ: если в сосуд налить 4 л, высота уровня будет примерно 7,5 см; если налить 10 л, высота будет примерно 12,2 см.

363. Из анализа журнала посещаемости бассейна в утреннее время с 8 до 12 часов в течение недели была получена следующая информация. В понедельник было 19 посетителей, а во вторник на 11 человек больше. В среду было на 10% больше, чем во вторник. В четверг было 2о посетителей, а в пятницу на 20% больше, чем в четверг. В воскресенье число посетителей было на 6 человек больше, чем в субботу, и равнялось 30. По данному описанию постройте график "зависимости числа посетителей бассейна по дням недели, соединив соседние точки отрезками.

Для построения графика сначала найдем точное число посетителей для каждого дня недели на основе данных из условия.

Понедельник
Согласно условию, в понедельник было 19 посетителей.
Ответ: 19

Вторник
Во вторник было на 11 человек больше, чем в понедельник.
$19 + 11 = 30$
Ответ: 30

Среда
В среду было на 10% больше посетителей, чем во вторник. Чтобы найти 10% от 30, умножим 30 на 0,10.
$30 + 30 \cdot 0,10 = 30 + 3 = 33$
Ответ: 33

Четверг
Согласно условию, в четверг было 25 посетителей.
Ответ: 25

Пятница
В пятницу было на 20% больше посетителей, чем в четверг. Чтобы найти 20% от 25, умножим 25 на 0,20.
$25 + 25 \cdot 0,20 = 25 + 5 = 30$
Ответ: 30

Воскресенье
Согласно условию, в воскресенье было 30 посетителей.
Ответ: 30

Суббота
Число посетителей в воскресенье (30) было на 6 человек больше, чем в субботу. Следовательно, чтобы найти число посетителей в субботу, нужно из числа посетителей в воскресенье вычесть 6.
$30 - 6 = 24$
Ответ: 24

Сведем полученные данные в таблицу:

График зависимости числа посетителей бассейна по дням недели

Построим график, где по горизонтальной оси отложены дни недели, а по вертикальной — число посетителей. Соединим соседние точки отрезками, как требуется в задаче.

364. Токарь в течение семи дней выполнял заказ по изготовлению деталей в соответствии с заданием, выданным ему бригадиромв начале первого рабочего дня. В понедельник он потратил часть рабочего времени на изучение чертежей и изготовил всего 47 деталей, что было наименьшим показателем за все оставшиеся рабочие дни. Во вторник он изготовил на 13 де − талей больше, а в среду на 15% больше, чем во вторник. В четверг часть рабочего времени была потрачена им на заточку резцов, поэтому деталей было изготовлено на 8 меньше, чем в среду. В пятницу был сокращённый рабочий день, и токарь изготовил на 4 детали меньше, чем в четверг. В следующий понедельник было сделано на 8 деталей больше, чем в пятницу, а во вторник он выполнил заказ полностью, изготовив максимальное количество деталей за все семь рабочих дней, − на 15 деталей больше, чем в пятницу.

По описанию постройте график зависимости числа изготовленных деталей от номера рабочего дня. Соседние точки соедините отрезками.

Для построения графика зависимости числа изготовленных деталей от номера рабочего дня необходимо последовательно рассчитать количество деталей, сделанных токарем в каждый из семи дней, согласно условиям задачи.

День 1 (Понедельник)

В первый день токарь изготовил 47 деталей. Это значение дано в условии задачи.

Ответ: 47 деталей.

День 2 (Вторник)

Во вторник было изготовлено на 13 деталей больше, чем в понедельник.

Расчет: $47 + 13 = 60$ деталей.

Ответ: 60 деталей.

День 3 (Среда)

В среду было изготовлено на 15% больше деталей, чем во вторник.

Расчет: $60 + 60 \cdot \frac{15}{100} = 60 \cdot 1.15 = 69$ деталей.

Ответ: 69 деталей.

День 4 (Четверг)

В четверг было изготовлено на 8 деталей меньше, чем в среду.

Расчет: $69 - 8 = 61$ деталь.

Ответ: 61 деталь.

День 5 (Пятница)

В пятницу было изготовлено на 4 детали меньше, чем в четверг.

Расчет: $61 - 4 = 57$ деталей.

Ответ: 57 деталей.

День 6 (Следующий понедельник)

В следующий понедельник было сделано на 8 деталей больше, чем в пятницу.

Расчет: $57 + 8 = 65$ деталей.

Ответ: 65 деталей.

День 7 (Следующий вторник)

В последний день токарь изготовил максимальное количество деталей — на 15 деталей больше, чем в пятницу.

Расчет: $57 + 15 = 72$ детали.

Ответ: 72 детали.

Сводные данные и проверка условий

Соберем данные по дням:

• День 1: 47 деталей
• День 2: 60 деталей
• День 3: 69 деталей
• День 4: 61 деталь
• День 5: 57 деталей
• День 6: 65 деталей
• День 7: 72 детали

Проверим условия: наименьший показатель — 47 деталей (в первый день), максимальный — 72 детали (в седьмой день). Условия задачи выполнены.

Построение графика

Построим график, где по оси абсцисс (горизонтальной) отложен номер рабочего дня (от 1 до 7), а по оси ординат (вертикальной) — количество изготовленных деталей. Соединим соседние точки отрезками.

Ответ: График зависимости количества изготовленных деталей от номера рабочего дня построен на основе вычисленных точек: (1; 47), (2; 60), (3; 69), (4; 61), (5; 57), (6; 65), (7; 72).