Номер 552, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 6. Дополнительные упражнения к главе III. Глава 3. Степень с натуральным показателем - номер 552, страница 125.

552. Упростите выражение:

$\mathrm{а}) \frac{{18}^{\mathrm{n}}}{2^{\mathrm{n}+1} · 3^{2\mathrm{n}-1}};$

$\mathrm{б}) \frac{{14}^{\mathrm{n}-1}· {21}^{\mathrm{n}+1}}{{49}^{\mathrm{n}} · 6^{\mathrm{n}}}.$

а)

Чтобы упростить выражение, представим основания степеней в виде произведения простых множителей. Число 18 можно представить как $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{18^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}}$

Теперь воспользуемся свойством степени произведения $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ и свойством степени степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$\frac{2^n \cdot (3^2)^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^n}{2^{n+1}} \cdot \frac{3^{2n}}{3^{2n-1}} = 2^{n-(n+1)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^{n-n-1} \cdot 3^{2n-2n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.

б)

Для упрощения данного выражения разложим основания степеней на простые множители:

$14 = 2 \cdot 7$

$21 = 3 \cdot 7$

$49 = 7^2$

$6 = 2 \cdot 3$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{14^{n-1} \cdot 21^{n+1}}{49^n \cdot 6^n} = \frac{(2 \cdot 7)^{n-1} \cdot (3 \cdot 7)^{n+1}}{(7^2)^n \cdot (2 \cdot 3)^n}$

Раскроем скобки, используя свойства степеней:

$\frac{(2^{n-1} \cdot 7^{n-1}) \cdot (3^{n+1} \cdot 7^{n+1})}{7^{2n} \cdot (2^n \cdot 3^n)}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя свойство $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:

$\frac{2^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{(n-1)+(n+1)}}{2^n \cdot 3^n \cdot 7^{2n}} = \frac{2^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{2n}}{2^n \cdot 3^n \cdot 7^{2n}}$

Теперь разделим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$\frac{2^{n-1}}{2^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{7^{2n}}{7^{2n}} = 2^{(n-1)-n} \cdot 3^{(n+1)-n} \cdot 7^{2n-2n} = 2^{-1} \cdot 3^1 \cdot 7^0$

Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем:

$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.