Номер 556, страница 126 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Степень с натуральным показателем. Дополнительные упражнения к главе III. К параграфу 6 - номер 556, страница 126.

Условие.

556. Объём шара вычисляется по формуле V = 43πr³, где r − радиус шара. Как изменится объём шара, если радиус увеличить в 2 раза; в 4 раза?

Решение 1.

$\mathrm{V}=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3;$

${\mathrm{V}}_1=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(2\mathrm{r}\right)}^3=8·\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\mathrm{r}}^3;$

$\frac{{\mathrm{V}}_1}{\mathrm{V}}=\frac{8·{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{\pi }{\mathrm{r}}^3}{{\displaystyle \frac{4}{3}}{\mathrm{\pi r}}^3}=8;$

${\mathrm{V}}_2=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{\left(4\mathrm{r}\right)}^3=64·\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3;$

$\frac{{\mathrm{V}}_2}{\mathrm{V}}=\frac{64·{\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{\pi }{\mathrm{r}}^3}{{\displaystyle \frac{4}{3}}{\mathrm{\pi r}}^3}=64.$

Ответ: увеличится в 8 раз, в 64 раза.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Объём шара ($V$) зависит от его радиуса ($r$) согласно формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Это означает, что объём прямо пропорционален кубу радиуса. Если радиус увеличить в $k$ раз, то объём увеличится в $k^3$ раз.

Проверим это для каждого из заданных случаев.

в 2 раза

Пусть начальный объём шара равен $V_1$ при радиусе $r_1$. Тогда $V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3$. Если радиус увеличить в 2 раза, новый радиус $r_2$ станет равен $2r_1$. Тогда новый объём $V_2$ будет: $V_2 = \frac{4}{3}\pi (r_2)^3 = \frac{4}{3}\pi (2r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (8r_1^3) = 8 \cdot (\frac{4}{3}\pi r_1^3)$. Так как $\frac{4}{3}\pi r_1^3 = V_1$, то $V_2 = 8V_1$. Таким образом, объём шара увеличится в 8 раз.

Ответ: объём шара увеличится в 8 раз.

в 4 раза

Аналогично, пусть начальный объём шара равен $V_1$ при радиусе $r_1$. Если радиус увеличить в 4 раза, новый радиус $r_3$ станет равен $4r_1$. Тогда новый объём $V_3$ будет: $V_3 = \frac{4}{3}\pi (r_3)^3 = \frac{4}{3}\pi (4r_1)^3 = \frac{4}{3}\pi (64r_1^3) = 64 \cdot (\frac{4}{3}\pi r_1^3)$. Так как $\frac{4}{3}\pi r_1^3 = V_1$, то $V_3 = 64V_1$. Таким образом, объём шара увеличится в 64 раза.

Ответ: объём шара увеличится в 64 раза.