Номер 543, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

543. Докажите, что уравнение х⁴ + 3х³ + 2х² + х + 6 = 0 не имеет положительных корней.

Чтобы доказать, что уравнение $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6 = 0$ не имеет положительных корней, необходимо показать, что его левая часть не может равняться нулю при любом положительном значении $x$ (то есть при $x > 0$).

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части уравнения:

• $x^4$: Если $x > 0$, то $x$ в четвертой степени также будет строго положительным числом ($x^4 > 0$).
• $3x^3$: Если $x > 0$, то $x^3 > 0$. Произведение положительного числа 3 на положительное число $x^3$ также будет положительным ($3x^3 > 0$).
• $2x^2$: Аналогично, если $x > 0$, то $x^2 > 0$, и произведение $2x^2$ будет положительным ($2x^2 > 0$).
• $x$: По условию $x$ является положительным числом ($x > 0$).
• $6$: Это положительная константа ($6 > 0$).

Таким образом, левая часть уравнения представляет собой сумму пяти строго положительных слагаемых. Сумма любого количества положительных чисел всегда является положительным числом.

Следовательно, для любого $x > 0$ значение выражения $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + x + 6$ будет строго больше нуля. Более того, оно будет даже больше 6.

Поскольку при любом положительном значении $x$ левая часть уравнения всегда положительна и никогда не может быть равна нулю, у данного уравнения нет положительных корней, что и требовалось доказать.

Ответ: Уравнение не имеет положительных корней.