Номер 709, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 29. Умножение многочлена на многочлен - номер 709, страница 150.

Условие.

709. Докажите, что значение выражения не зависит от переменной х:

а) (х − 5)(х + 8) − (х + 4)(х − 1); б) х⁴ + (х² − 1)(х² + 1).

Решение 1.

а) (х − 5)(х + 8) − (х + 4) ×
× (х − 1) = x² + 8x - 5x - 40 -
- (x² - x + 4x - 4) = x² + 3x -
- 40 - x² - 3x + 4 = -36;

б) х⁴ + (х² − 1)(х² + 1) =
= x⁴ - (x⁴ + x² - x² - 1) =
= x⁴ - x⁴ + 1 = 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $x$, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x - 5)(x + 8) - (x + 4)(x - 1) = (x \cdot x + x \cdot 8 - 5 \cdot x - 5 \cdot 8) - (x \cdot x - x \cdot 1 + 4 \cdot x - 4 \cdot 1)$

Выполним умножение и приведем подобные слагаемые в каждой группе слагаемых:

$(x^2 + 8x - 5x - 40) - (x^2 - x + 4x - 4) = (x^2 + 3x - 40) - (x^2 + 3x - 4)$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:

$x^2 + 3x - 40 - x^2 - 3x + 4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (3x - 3x) + (-40 + 4) = 0 + 0 - 36 = -36$

Полученное значение равно -36 и не содержит переменную $x$, следовательно, оно не зависит от нее, что и требовалось доказать.

Ответ: -36.

б) Упростим данное выражение. Произведение $(x^2 - 1)(x^2 + 1)$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = x^2$ и $b = 1$.

$x^4 - (x^2 - 1)(x^2 + 1) = x^4 - ((x^2)^2 - 1^2)$

Выполним возведение в степень:

$x^4 - (x^4 - 1)$

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные:

$x^4 - x^4 + 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^4 - x^4) + 1 = 0 + 1 = 1$

Полученное значение равно 1 и не зависит от переменной $x$, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.