Номер 715, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 715, страница 151.

715. Докажите, что:
а) при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 5) − (n − 3)(n + 2) кратно 6;
б) при любом натуральном значении n, большем 2, значение выражения (n − 1)(n + 1) − (n − 7)(n − 5) кратно 12.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $n(n + 5) - (n - 3)(n + 2)$ кратно 6 при любом натуральном значении $n$, необходимо упростить это выражение.

Сначала раскроем скобки в каждом из произведений:

$n(n + 5) = n^2 + 5n$

$(n - 3)(n + 2) = n \cdot n + n \cdot 2 - 3 \cdot n - 3 \cdot 2 = n^2 + 2n - 3n - 6 = n^2 - n - 6$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(n^2 + 5n) - (n^2 - n - 6)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$n^2 + 5n - n^2 + n + 6 = (n^2 - n^2) + (5n + n) + 6 = 6n + 6$

В полученном выражении $6n + 6$ вынесем общий множитель 6 за скобки:

$6(n + 1)$

По условию, $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Следовательно, выражение $n + 1$ также будет натуральным числом. Произведение числа 6 на любое натуральное число всегда делится на 6 без остатка. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 6.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Чтобы доказать, что значение выражения $(n - 1)(n + 1) - (n - 7)(n - 5)$ кратно 12 при любом натуральном значении $n$, большем 2, необходимо упростить это выражение.

Раскроем скобки. Первое произведение является формулой разности квадратов:

$(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

Раскроем второе произведение:

$(n - 7)(n - 5) = n \cdot n - n \cdot 5 - 7 \cdot n - 7 \cdot (-5) = n^2 - 5n - 7n + 35 = n^2 - 12n + 35$

Теперь подставим полученные многочлены в исходное выражение:

$(n^2 - 1) - (n^2 - 12n + 35)$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и приведем подобные слагаемые:

$n^2 - 1 - n^2 + 12n - 35 = (n^2 - n^2) + 12n + (-1 - 35) = 12n - 36$

В полученном выражении $12n - 36$ вынесем общий множитель 12 за скобки:

$12(n - 3)$

По условию, $n$ — натуральное число, большее 2 ($n > 2$), то есть $n$ может принимать значения $3, 4, 5, ...$ . В этом случае выражение $n - 3$ будет принимать значения $0, 1, 2, ...$ , то есть будет являться целым неотрицательным числом. Произведение числа 12 на любое целое число всегда делится на 12 без остатка. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение кратно 12.

Ответ: Утверждение доказано.