Номер 718, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 718, страница 151.

718. Периметр прямоугольника равен 70 см. Если его длину уменьшить на 5 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь увеличится на 50 см². Найдите длину и ширину первоначального прямоугол ьника.

Пусть $a$ — длина первоначального прямоугольника, а $b$ — его ширина (в сантиметрах).

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Согласно условию, периметр равен 70 см. На основе этого составим первое уравнение:
$2(a + b) = 70$
Разделим обе части уравнения на 2:
$a + b = 35$

Площадь первоначального прямоугольника равна $S = a \cdot b$.

Если длину уменьшить на 5 см, то новая длина будет равна $(a - 5)$ см. Если ширину увеличить на 5 см, то новая ширина будет равна $(b + 5)$ см.
Площадь нового прямоугольника будет равна $S_{нов} = (a - 5)(b + 5)$.

По условию, новая площадь на 50 см? больше первоначальной, то есть $S_{нов} = S + 50$. Составим второе уравнение, подставив выражения для площадей:
$(a - 5)(b + 5) = ab + 50$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки в левой части:
$ab + 5a - 5b - 25 = ab + 50$
Вычтем $ab$ из обеих частей уравнения:
$5a - 5b - 25 = 50$
Прибавим 25 к обеим частям:
$5a - 5b = 75$
Разделим обе части уравнения на 5:
$a - b = 15$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 35 \\ a - b = 15 \end{cases}$

Для решения системы сложим первое и второе уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 35 + 15$
$2a = 50$
$a = 25$

Теперь подставим найденное значение $a = 25$ в первое уравнение ($a + b = 35$), чтобы найти $b$:
$25 + b = 35$
$b = 35 - 25$
$b = 10$

Следовательно, длина первоначального прямоугольника составляет 25 см, а его ширина — 10 см.

Ответ: длина 25 см, ширина 10 см.