Номер 725, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 30. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 725, страница 153.

Условие.

725. Разложите на множители многочлен:

а) mx + my + 6x + 6y;
б) 9x + ay + 9y + ax;
в) 7a − 7b + an − bn;

г) ax + ay − x − y;
д) 1 − bx − x + b;
е) xy + 2y − 2x − 4.

Решение 1.

а) mx + my + 6x + 6y =
= (mx + my) + (6x + 6y) =
= m(x + y) + 6(x + y) =
= (x + y) (m + 6);

б) 9x + ay + 9y + ax =
= (9x + 9y) + (ay + ax) =
= 9(x + y) + a(x + y) =
= (x + y) (9 + a);

в) 7a − 7b + an − bn =
= (7a - 7b) + (an - bn) =
= 7(a - b) + n(a - b) =
= (a - b) (7 + n);

г) ax + ay − x − y =
= (ax + ay) - (x + y) =
= a(x + y) - (x - y) =
= (x + y) (a - 1);

д) 1 − bx − x + b =
= (1 - x) + (b - bx) =
= (1 - x) + b(1 - x) =
= (1 - x) (1 + b);

е) xy + 2y − 2x − 4 =
= (xy - 2y) - (2x + 4) =
= y(x + 2) - 2(x + 2) =
(x + 2) (y - 2).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $mx + my + 6x + 6y$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(mx + my) + (6x + 6y)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $m$, а во второй — общий множитель $6$:

$m(x + y) + 6(x + y)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(x + y)$, который мы также можем вынести за скобки:

$(x + y)(m + 6)$

Ответ: $(x + y)(m + 6)$.

б) $9x + ay + 9y + ax$

Сначала перегруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе был общий множитель:

$(9x + ax) + (9y + ay)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — общий множитель $y$:

$x(9 + a) + y(9 + a)$

Вынесем общий множитель $(9 + a)$ за скобки:

$(9 + a)(x + y)$

Ответ: $(9 + a)(x + y)$.

в) $7a - 7b + an - bn$

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(7a - 7b) + (an - bn)$

Вынесем общие множители из каждой группы: в первой — $7$, во второй — $n$:

$7(a - b) + n(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(7 + n)$

Ответ: $(a - b)(7 + n)$.

г) $ax + ay - x - y$

Сгруппируем слагаемые:

$(ax + ay) + (-x - y)$

В первой группе вынесем за скобки $a$, а во второй группе вынесем за скобки $-1$, чтобы получить общий множитель в скобках:

$a(x + y) - 1(x + y)$

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(x + y)(a - 1)$

Ответ: $(x + y)(a - 1)$.

д) $1 - bx - x + b$

Перегруппируем слагаемые для удобства разложения:

$(1 - x) + (b - bx)$

В первой группе общий множитель равен $1$. Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $b$:

$1(1 - x) + b(1 - x)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(1 - x)$:

$(1 - x)(1 + b)$

Ответ: $(1 - x)(1 + b)$.

е) $xy + 2y - 2x - 4$

Сгруппируем слагаемые:

$(xy + 2y) + (-2x - 4)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $y$, а во второй — общий множитель $-2$:

$y(x + 2) - 2(x + 2)$

Вынесем общий множитель $(x + 2)$ за скобки:

$(x + 2)(y - 2)$

Ответ: $(x + 2)(y - 2)$.