Номер 727, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 30. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 727, страница 153.

Условие.

727. Разложите на множители многочлен:

а) x³ + x² + x + 1;
б) y⁵ − y³ − y² + 1;
в) a⁴ + 2a³ − a − 2;
г) b⁶ − 3b⁴ − 2b² + 6.

д) а² − ab − 8а + 8b;
е) ab − 3b + b² − 3а;
ж) 11х − ху + 11у − х²;
з) kn − mn − n² + mk.

Решение 1.

а) x³ + x² + x + 1 =
= (x³ + x²) + (x + 1) =
= x²(x + 1) + (x + 1) =
= (x + 1) (x² + 1);

б) y⁵ − y³ − y² + 1 =
= (y⁵ − y³) - (y² - 1) =
= y³(y² - 1) - (y² - 1) =
= (y² - 1) (y³ - 1);

в) a⁴ + 2a³ − a − 2 =
= (a⁴ - a) + (2a³ - 2) =
= a(a³ - 1) + 2(a³ - 1) =
= (a³ - 1) (a + 2);

г) b⁶ − 3b⁴ − 2b² + 6 =
= (b⁶ − 3b⁴) - (2b² - 6) =
= b⁴(b² - 3) - 2(b² - 3) =
= (b² - 3) (b⁴ - 2).

д) а² − ab − 8а + 8b =
= (а² - ab) - (8a - 8b) =
= a(a - b) - 8(a - b) =
= (a - b) (a - 8);

е) ab − 3b + b² − 3а =
= (ab + b²) - (3b + 3a) =
= b(a + b) - 3(a + b) =
= (a + b) (b - 3);

ж) 11х − ху + 11у − х² =
= (11x + 11y) - (xy + x²) =
= 11(x + y) - x(x + y) =
= (x + y) (11 - x);

з) kn − mn − n² + mk =
= (kn + mk) - (mn + n²) =
= k(n + m) - n(n + m) =
= (n + m) (k - n).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x^3 + x^2 + x + 1$

Для разложения многочлена на множители используем метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^2$:

$x^2(x + 1) + 1(x + 1)$

Теперь мы видим общий множитель $(x + 1)$, который также можно вынести за скобки:

$(x + 1)(x^2 + 1)$

Ответ: $(x + 1)(x^2 + 1)$

б) $y^5 - y^3 - y^2 + 1$

Сгруппируем слагаемые: первые два и последние два. Обратим внимание на знак перед второй скобкой.

$y^5 - y^3 - y^2 + 1 = (y^5 - y^3) - (y^2 - 1)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$y^3(y^2 - 1) - 1(y^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(y^2 - 1)$ за скобки:

$(y^2 - 1)(y^3 - 1)$

Каждый из множителей в скобках можно разложить дальше, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и разность кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$(y - 1)(y + 1)(y - 1)(y^2 + y + 1)$

Соберем одинаковые множители:

$(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

Ответ: $(y - 1)^2(y + 1)(y^2 + y + 1)$

в) $a^4 + 2a^3 - a - 2$

Сгруппируем слагаемые:

$a^4 + 2a^3 - a - 2 = (a^4 + 2a^3) - (a + 2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^3(a + 2) - 1(a + 2)$

Вынесем общий множитель $(a + 2)$ за скобки:

$(a + 2)(a^3 - 1)$

Множитель $(a^3 - 1)$ является разностью кубов и может быть разложен:

$(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

Ответ: $(a + 2)(a - 1)(a^2 + a + 1)$

г) $b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6$

Сгруппируем слагаемые:

$b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 = (b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3)$

Вынесем общий множитель $(b^2 - 3)$ за скобки:

$(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

Ответ: $(b^2 - 3)(b^4 - 2)$

д) $a^2 - ab - 8a + 8b$

Сгруппируем слагаемые:

$a^2 - ab - 8a + 8b = (a^2 - ab) - (8a - 8b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(a - b) - 8(a - b)$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)(a - 8)$

Ответ: $(a - b)(a - 8)$

е) $ab - 3b + b^2 - 3a$

Для удобства перегруппируем слагаемые:

$ab - 3b + b^2 - 3a = (ab - 3a) + (b^2 - 3b)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a(b - 3) + b(b - 3)$

Вынесем общий множитель $(b - 3)$ за скобки:

$(b - 3)(a + b)$

Ответ: $(b - 3)(a + b)$

ж) $11x - xy + 11y - x^2$

Перегруппируем слагаемые, чтобы сгруппировать члены с коэффициентом 11 и члены с переменной $x$:

$11x - xy + 11y - x^2 = (11x + 11y) - (xy + x^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$11(x + y) - x(y + x)$

Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки:

$(x + y)(11 - x)$

Ответ: $(x + y)(11 - x)$

з) $kn - mn - n^2 + mk$

Перегруппируем слагаемые для удобства:

$kn - mn - n^2 + mk = (kn + mk) - (mn + n^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$k(n + m) - n(m + n)$

Вынесем общий множитель $(n + m)$ за скобки:

$(n + m)(k - n)$

Ответ: $(n + m)(k - n)$