Номер 728, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 30. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 728, страница 153.

Условие.

728. Представьте в виде произведения многочлен:

а) mn − mk + xk − хn;
б) х² + 7х − ах − 7а;

в) 3m − mk + 3k − k²;
г) xk − ху − х² + yk.

Решение 1.

а) mn − mk + xk − хn =
= (mn - mk) + (xk - xn) =
= m(n - k) + x(k - n) =
= m(n - k) - x(n - k) =
= (n - k) (m - x);

б) х² + 7х − ах − 7а =
= (x² - ax) + (7x - 7a) =
= x(x - a) + 7(x - a) =
= (x - a) (x + 7);

в) 3m − mk + 3k − k² =
= (3m + 3k) - (mk + k²) =
= 3(m + k) - k(m + k) =
= (m + k) (3 - k);

г) xk − ху − х² + yk =
= (xk + yk) - (xy + x²) =
= k(x + y) - x(y + x) =
= (x + y) (k - x).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для того чтобы разложить многочлен $mn - mk + xk - xn$ на множители, сгруппируем его члены. Сгруппируем первый член со вторым, а третий с четвертым, вынеся из второй группы знак минус:

$(mn - mk) - (xn - xk)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $m$, а во второй — $x$:

$m(n - k) - x(n - k)$

Теперь мы видим общий множитель $(n - k)$, который также можно вынести за скобки:

$(n - k)(m - x)$

Ответ: $(n - k)(m - x)$.

б) Рассмотрим многочлен $x^2 + 7x - ax - 7a$. Сгруппируем его члены: первый со вторым и третий с четвертым.

$(x^2 + 7x) + (-ax - 7a)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x$, а из второй $-a$:

$x(x + 7) - a(x + 7)$

Общим множителем является выражение $(x + 7)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 7)(x - a)$

Ответ: $(x + 7)(x - a)$.

в) Разложим на множители многочлен $3m - mk + 3k - k^2$. Применим метод группировки:

$(3m - mk) + (3k - k^2)$

В первой группе вынесем за скобки $m$, а во второй — $k$:

$m(3 - k) + k(3 - k)$

Общий множитель $(3 - k)$ выносим за скобки:

$(3 - k)(m + k)$

Ответ: $(3 - k)(m + k)$.

г) Рассмотрим многочлен $xk - xy - x^2 + yk$. Для удобства разложения на множители перегруппируем его члены. Сгруппируем первый член с четвертым, а второй с третьим:

$(xk + yk) + (-xy - x^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $k$, а из второй $-x$:

$k(x + y) - x(y + x)$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется, $y + x = x + y$. Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который выносим за скобки:

$(x + y)(k - x)$

Ответ: $(x + y)(k - x)$.