Номер 734, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 30. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 734, страница 154.

Условие.

734. Разложите на множители трёхчлен:

а) х² + 6х + 5; б) х² − х − 6; в) а² − 5а + 4; г) а² − 6а − 16.

Решение 1.

а) х² + 6х + 5 =
= x² + x + 5x + 5 =
= (x² + x) + (5x + 5) =
= x(x + 1) + 5(x + 1) =
= (x + 1) (x + 5);

б) х² − х − 6 =
= x² - 3x + 2x - 6 =
= (x² - 3x) + (2x - 6) =
= x(x - 3) + 2(x - 3) =
= (x - 3) (x + 2);

в) а² − 5а + 4 =
= a² - a - 4a + 4 =
= (a² - a) - (4a - 4) =
= a(a - 1) - 4(a - 1) =
= (a - 1) (a - 4);

г) а² − 6а − 16 =
= a² - 8a + 2a - 16 =
= (a² - 8a) + (2a - 16) =
= a(a - 8) + 2(a - 8) =
= (a - 8) (a + 2).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения, то разложение на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В задачах ниже старший коэффициент $a$ равен 1, поэтому формула для разложения упрощается до $(x - x_1)(x - x_2)$.

а) $x^2 + 6x + 5$

Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$.
В нашем случае $p=6$ и $q=5$. Значит:
$x_1 + x_2 = -6$
$x_1 \cdot x_2 = 5$
Подбором находим, что корнями являются числа $-1$ и $-5$.
$x_1 = -1$, $x_2 = -5$.
Теперь подставляем найденные корни в формулу разложения $(x - x_1)(x - x_2)$:
$x^2 + 6x + 5 = (x - (-1))(x - (-5)) = (x + 1)(x + 5)$.
Ответ: $(x + 1)(x + 5)$.

б) $x^2 - x - 6$

Найдём корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.
По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$
$x_1 \cdot x_2 = -6$
Подбором находим, что корнями являются числа $3$ и $-2$.
$x_1 = 3$, $x_2 = -2$.
Подставляем корни в формулу разложения:
$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2)$.
Ответ: $(x - 3)(x + 2)$.

в) $a^2 - 5a + 4$

Найдём корни уравнения $a^2 - 5a + 4 = 0$.
По теореме Виета:
$a_1 + a_2 = -(-5) = 5$
$a_1 \cdot a_2 = 4$
Подбором находим, что корнями являются числа $1$ и $4$.
$a_1 = 1$, $a_2 = 4$.
Подставляем корни в формулу разложения $(a - a_1)(a - a_2)$:
$a^2 - 5a + 4 = (a - 1)(a - 4)$.
Ответ: $(a - 1)(a - 4)$.

г) $a^2 - 6a - 16$

Найдём корни уравнения $a^2 - 6a - 16 = 0$.
Найдём корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.
Корни находятся по формуле $a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
$a_1 = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$a_2 = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
Подставляем корни $8$ и $-2$ в формулу разложения:
$a^2 - 6a - 16 = (a - 8)(a - (-2)) = (a - 8)(a + 2)$.
Ответ: $(a - 8)(a + 2)$.