Номер 732, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 30. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 732, страница 154.

Условие.

732. Представьте в виде произведения:
а) ас² − ad + с³− cd − bc² + bd;
б) ах² + ay² − bx² − by² + b − a;
в) аn² + сn² − ар + ар² − ср + ср²;
г) ху² − by² − ax + ab + у² − а.

Решение 1.

а) ас² − ad + с³− cd − bc² + bd =
= (ac² + c³ - bc²) - (ad + cd - bd) =
= c²(a + c - b) - d(a + c - b) =
= (a + c - b) (c² - d);

б) ах² + ay² − bx² − by² + b − a =
= (ax² + ay² - a) - (bx² + by² - b) =
= a(x² + y² - 1) - b(x² + y² - 1) =
= (x² + y² - 1) (a - b);

в) аn² + сn² − ар + ар² − ср + ср² =
= (an² - ap + ap²) + (cn² - cp + cp²) =
= a(n² - p + p²) + c(n² - p + p²) =
= (n² - p + p²) (a + c);

г) ху² − by² − ax + ab + у² − а =
= (xy² - by² + y²) - (ax - ab + a) =
= y²(x - b + 1) - a(x - b + 1) =
= (x - b + 1) (y² - a).

Решение 2.

а)

Чтобы представить выражение $ac^2 - ad + c^3 - cd - bc^2 + bd$ в виде произведения, применим метод группировки слагаемых.

Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Например, можно сгруппировать члены с множителем $a$, с множителем $c$ и с множителем $b$. Однако, более эффективной будет группировка, которая сразу выявляет общий многочленный множитель.

Сгруппируем члены следующим образом: $(ac^2 - ad) + (c^3 - cd) + (-bc^2 + bd)$.

Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой группе:

$a(c^2 - d) + c(c^2 - d) - b(c^2 - d)$

Мы видим, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(c^2 - d)$. Вынесем его за скобки:

$(a + c - b)(c^2 - d)$

Таким образом, исходный многочлен представлен в виде произведения двух множителей.

Ответ: $(a + c - b)(c^2 - d)$

б)

Чтобы представить выражение $ax^2 + ay^2 - bx^2 - by^2 + b - a$ в виде произведения, воспользуемся методом группировки.

Сгруппируем слагаемые, содержащие множитель $a$, и слагаемые, содержащие множитель $b$:

$(ax^2 + ay^2 - a) + (-bx^2 - by^2 + b)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. Из первой группы выносим $a$, а из второй — $-b$:

$a(x^2 + y^2 - 1) - b(x^2 + y^2 - 1)$

Теперь видно, что оба слагаемых имеют общий множитель $(x^2 + y^2 - 1)$. Вынесем его за скобки:

$(a - b)(x^2 + y^2 - 1)$

Ответ: $(a - b)(x^2 + y^2 - 1)$

в)

Для разложения на множители выражения $an^2 + cn^2 - ap + ap^2 - cp + cp^2$ применим метод группировки.

Сгруппируем слагаемые, имеющие общие переменные. Сгруппируем члены с $n^2$, члены с $p$ и члены с $p^2$:

$(an^2 + cn^2) + (-ap - cp) + (ap^2 + cp^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$n^2(a + c) - p(a + c) + p^2(a + c)$

Все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(a + c)$. Вынесем его за скобки:

$(a + c)(n^2 - p + p^2)$

Ответ: $(a + c)(n^2 - p + p^2)$

г)

Чтобы представить выражение $xy^2 - by^2 - ax + ab + y^2 - a$ в виде произведения, используем метод группировки.

Переставим слагаемые для удобства и сгруппируем их. Сгруппируем все члены, содержащие $y^2$, и все остальные члены:

$(xy^2 - by^2 + y^2) + (-ax + ab - a)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы выносим $y^2$, а из второй — $-a$.

$y^2(x - b + 1) - a(x - b + 1)$

Оба слагаемых имеют общий множитель $(x - b + 1)$. Вынесем его за скобки, чтобы получить окончательное разложение:

$(y^2 - a)(x - b + 1)$

Ответ: $(y^2 - a)(x - b + 1)$

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.