Номер 729, страница 153 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 30. Разложение многочлена на множители способом группировки - номер 729, страница 153.

Условие.

729. Найдите значение выражения:
а) р²q² + pq − q³ − р³ при р = 0,5 и q = −0,5;
б) 3х³ − 2y³ − 6x²y² + ху при х = 23 и у = 12.

Решение 1.

а) р²q² + pq − q³ − р³ =
= (p²q² - q³) + (pq - p³) =
= q²(p² - q) + p(q - p²) =
= q²(p² - q) - p(p² - q) =
= (q² - p) (p² - q)

при р = 0,5 и q = −0,5;
((-0,5)² - 0,5) ((0,5)² - (-0,5)) =
= (0,25 - 0,5) (0,25 + 0,5) =
$=-0,25 · 0,75=-\frac{1}{4} ·\frac{3}{4}=-\frac{3}{16};$

б) 3х³ − 2y³ − 6х²y² + ху =
= (3x³ - 6x²y²) - (2y³ - xy) =
= 3x²(x - 2y²) - y(2y² - x) =
= 3x²(x - 2y²) + y(x - 2y²) =
= (x - 2y²) (3x² + y)

$\mathrm{при} \mathrm{х}=\frac{2}{3} \mathrm{и} \mathrm{y}=\frac{1}{2};$

$\left(\frac{2}{3}-2·{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right) \left(3·{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{1}{2}\right)=$

$=\left(\frac{2}{3}-2·\frac{1}{4}\right) \left(3·\frac{4}{9}+\frac{1}{2}\right)=$

$=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right) \left(\frac{4}{3}+\frac{1}{2}\right)=$

$=\frac{4-3}{6}·\frac{8+3}{6}=\frac{1}{6}·\frac{11}{6}=\frac{11}{36}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $p^2q^2 + pq - q^3 - p^3$ при $p = 0,5$ и $q = -0,5$

Прежде чем подставлять значения, упростим выражение. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$p^2q^2 + pq - q^3 - p^3 = (p^2q^2 + pq) - (p^3 + q^3)$

Вторую скобку можно разложить по формуле суммы кубов: $p^3 + q^3 = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$. Найдем значение суммы $p+q$ при заданных значениях переменных:

$p+q = 0,5 + (-0,5) = 0$

Так как один из множителей равен нулю, то и все произведение равно нулю:

$p^3 + q^3 = 0 \cdot (p^2 - pq + q^2) = 0$

Таким образом, исходное выражение упрощается до:

$p^2q^2 + pq - 0 = p^2q^2 + pq$

Теперь найдем значение произведения $pq$:

$pq = 0,5 \cdot (-0,5) = -0,25$

Подставим это значение в упрощенное выражение:

$p^2q^2 + pq = (pq)^2 + pq = (-0,25)^2 + (-0,25) = 0,0625 - 0,25 = -0,1875$

Ответ: $-0,1875$

б) $3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy$ при $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$

Для упрощения вычислений сгруппируем члены многочлена и разложим его на множители:

$3x^3 - 2y^3 - 6x^2y^2 + xy = (3x^3 - 6x^2y^2) + (xy - 2y^3)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$3x^2(x - 2y^2) + y(x - 2y^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2y^2)$ за скобки:

$(3x^2 + y)(x - 2y^2)$

Теперь подставим заданные значения $x = \frac{2}{3}$ и $y = \frac{1}{2}$ в полученное выражение. Вычислим значение каждого множителя отдельно.

Первый множитель:

$3x^2 + y = 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{4}{9} + \frac{1}{2} = \frac{4}{3} + \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} + \frac{3}{6} = \frac{11}{6}$

Второй множитель:

$x - 2y^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{3} - \frac{2}{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$

Теперь перемножим значения множителей:

$(\frac{11}{6}) \cdot (\frac{1}{6}) = \frac{11}{36}$

Ответ: $\frac{11}{36}$