Номер 3, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 3, страница 154.

3 На примере многочлена ab − 2b + 5а − 10 объясните, как выполняется разложение многочлена на множители способом группировки.

Разложение многочлена на множители способом группировки — это метод, при котором члены многочлена объединяют в группы, из каждой группы выносят общий множитель, а затем выносят за скобки общий для всех групп множитель (часто это двучлен). Продемонстрируем этот метод на примере многочлена $ab - 2b + 5a - 10$.

Шаг 1: Группировка слагаемых

Необходимо объединить члены многочлена в группы (обычно попарно) так, чтобы у каждой группы был свой общий множитель. Один из возможных вариантов — сгруппировать первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.

$ (ab - 2b) + (5a - 10) $

Шаг 2: Вынесение общего множителя из каждой группы

Теперь из каждой группы вынесем за скобки общий множитель.

Для первой группы $(ab - 2b)$ общим множителем является переменная $b$. После вынесения получим: $b(a - 2)$.

Для второй группы $(5a - 10)$ общим множителем является число $5$. После вынесения получим: $5(a - 2)$.

В результате весь многочлен примет вид суммы двух слагаемых:

$ b(a - 2) + 5(a - 2) $

Шаг 3: Вынесение общего двучленного множителя

Мы видим, что оба получившихся слагаемых, $b(a - 2)$ и $5(a - 2)$, имеют общий множитель — двучлен $(a - 2)$. Теперь нужно вынести этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого в скобках останется $b$, а от второго — $+5$.

$ (a - 2)(b + 5) $

Таким образом, мы представили исходный многочлен в виде произведения двух множителей (двучленов). Процесс разложения завершен.

Проверка другим способом группировки

Стоит отметить, что результат не зависит от первоначального выбора групп (если разложение этим методом возможно). Попробуем сгруппировать иначе: первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

$ (ab + 5a) + (-2b - 10) $

Вынесем из первой группы общий множитель $a$, а из второй — $-2$.

$ a(b + 5) - 2(b + 5) $

Общим множителем стал двучлен $(b + 5)$. Вынесем его за скобки.

$ (b + 5)(a - 2) $

Результат тот же самый, что подтверждает верность решения.

Ответ: $ab - 2b + 5a - 10 = (a - 2)(b + 5)$.