Номер 744, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 31. Деление с остатком - номер 744, страница 157.

Условие.

744. Докажите, что если целые числа а и b при делении на 3 дают разные остатки (не равные нулю), то число ab + 1 делится на 3.

Решение 1.

Если целые числа a и b при делении на 3 дают разные остатки (не равные нулю), то эти остатки могут быть 1 или 2.

пусть a : 3 = k₁ (ост. 1)
b : 3 = k₂ (ост. 2),

тогда a = 3k₁ + 1; b = 3k₂ + 2
ab = (3k₁ + 1) (3k₂ + 2)
ab + 1 = (3k₁ + 1) (3k₁ + 2) + 1 =
= 9k₁k₂ + 6k₁ + 3k₂ + 2 + 1 =
= 9k₁k₂ + 6k₁ + 3k₂ + 3 =
= 3(3k₁k₂ + 2k₁ + k₂ + 1)

Так как в числе ab + 1 один из множителей 3, то и всё число ab + 1 делится на 3.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Согласно условию задачи, целые числа $a$ и $b$ при делении на 3 дают разные остатки, которые не равны нулю.

При делении любого целого числа на 3 возможны три остатка: 0, 1 или 2.

Поскольку по условию остатки от деления $a$ и $b$ на 3 не равны нулю, они могут быть только 1 или 2. Также по условию эти остатки различны. Следовательно, одно из чисел (например, $a$) при делении на 3 дает остаток 1, а другое число ($b$) — остаток 2.

Это можно записать, используя формулу деления с остатком. Существуют такие целые числа $k$ и $m$, что:
$a = 3k + 1$
$b = 3m + 2$

Теперь рассмотрим выражение $ab + 1$. Подставим в него представления для $a$ и $b$:
$ab + 1 = (3k + 1)(3m + 2) + 1$

Раскроем скобки, перемножив двучлены:
$(3k + 1)(3m + 2) = 3k \cdot 3m + 3k \cdot 2 + 1 \cdot 3m + 1 \cdot 2 = 9km + 6k + 3m + 2$

Теперь прибавим 1 к результату:
$ab + 1 = (9km + 6k + 3m + 2) + 1 = 9km + 6k + 3m + 3$

Чтобы доказать, что это число делится на 3, вынесем общий множитель 3 за скобки:
$ab + 1 = 3(3km + 2k + m + 1)$

Так как $k$ и $m$ являются целыми числами, то и выражение в скобках $(3km + 2k + m + 1)$ является целым числом. Если число можно представить в виде произведения тройки и другого целого числа, то оно делится на 3.

Таким образом, мы доказали, что $ab + 1$ делится на 3. Если бы мы изначально предположили, что $a$ дает остаток 2, а $b$ — остаток 1, результат был бы аналогичным, так как произведение $ab$ коммутативно.

Ответ: Утверждение доказано. Если остатки от деления $a$ и $b$ на 3 различны и не равны нулю, то они равны 1 и 2. Пусть $a = 3k + 1$, а $b = 3m + 2$ для некоторых целых $k$ и $m$. Тогда их произведение плюс один равно $ab + 1 = (3k + 1)(3m + 2) + 1 = 9km + 6k + 3m + 2 + 1 = 9km + 6k + 3m + 3 = 3(3km + 2k + m + 1)$. Поскольку это выражение является произведением числа 3 и целого числа, оно делится на 3.