Номер 749, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

31. Деление с остатком. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 749, страница 157.

749. Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Чтобы доказать, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 2

Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $n$.

1. Если $n$ — четное число, то $n$ можно представить в виде $n=2k$, где $k$ — натуральное число. В этом случае все произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ содержит множитель $n=2k$, который делится на 2. Следовательно, все произведение делится на 2.

2. Если $n$ — нечетное число, то множитель $(7n+1)$ будет четным. Это так, потому что произведение нечетного числа $n$ на нечетное число 7 является нечетным числом, а прибавление 1 к нечетному числу дает в результате четное число. Так как один из множителей произведения, $(7n+1)$, делится на 2, то и все произведение делится на 2.

Таким образом, при любом натуральном $n$ данное выражение делится на 2.

Доказательство делимости на 3

Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3.

1. Если $n$ делится на 3 без остатка (т.е. $n = 3k$ для некоторого натурального $k$), то множитель $n$ делится на 3, а значит и все произведение делится на 3.

2. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1 (т.е. $n=3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$), то множитель $(2n+1)$ будет делиться на 3. Проверим: $2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$. Так как этот множитель делится на 3, то и все произведение делится на 3.

3. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2 (т.е. $n=3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$), то множитель $(7n+1)$ будет делиться на 3. Проверим: $7n+1 = 7(3k+2)+1 = 21k+14+1 = 21k+15 = 3(7k+5)$. Так как этот множитель делится на 3, то и все произведение делится на 3.

Таким образом, при любом натуральном $n$ данное выражение делится на 3.

Заключение

Поскольку выражение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится и на 2, и на 3 при любом натуральном $n$, оно делится и на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$.