Номер 749, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 31. Деление с остатком - номер 749, страница 157.

Условие.

749. Докажите, что произведение n(2n + 1)(7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n.

Решение 1.

Чтобы произведение n(2n + 1) (7n + 1) делилось на 6, нужно чтобы оно делилось на 2 и на 3.

Если n – чётное, то оно делится на 2, а значит и всё произведение делится на 2.

Если n – нечётное, то (7n + 1) – чётное и значит всё произведение делится на 2. Следовательно, произведение n(2n + 1) (7n + 1) делится на 2 при любом натуральном n.

Докажем теперь, что данное произведение делится на 3. Если произведение не делится на 3, то оно может иметь остатки 1 или 2.

1) Пусть остаток равен 1, тогда n = 3k + 1
n(2n + 1) (7n + 1) =
= (3k + 1) (2(3k + 1) + 1) ×
× (7(3k + 1) + 1) = (3k + 1) ×
× (6k + 2 + 1) (21k + 7 + 1) =
= (3k + 1) (6k + 3) (21k + 8) =
= (3k + 1) (21k + 8) (2k + 1) ⋅ 3
делится на 3 без остатка.

2) Пусть остаток равен 2, тогда n = 3k + 2
n(2n + 1) (7n + 1) =
= (3k + 2) (2(3k + 2) + 1) ×
× (7(3k + 2) + 1) = (3k + 2) ×
× (6k + 4 + 1) (21k + 14 + 1) =
= (3k + 2) (6k + 5) (21k + 15) =
= (3k + 2) (6k + 5) (7k + 5) ⋅ 3
делится на 3 без остатка.

Значит, произведение n(2n + 1) (7n + 1) делится на 3 при любом натуральном n.

Таким образом, произведение n(2n + 1) (7n + 1) делится на 6 при любом натуральном n, что и требовалось доказать.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$, необходимо доказать, что оно делится одновременно на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$ и числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Доказательство делимости на 2

Рассмотрим два возможных случая для натурального числа $n$.

1. Если $n$ — четное число, то $n$ можно представить в виде $n=2k$, где $k$ — натуральное число. В этом случае все произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ содержит множитель $n=2k$, который делится на 2. Следовательно, все произведение делится на 2.

2. Если $n$ — нечетное число, то множитель $(7n+1)$ будет четным. Это так, потому что произведение нечетного числа $n$ на нечетное число 7 является нечетным числом, а прибавление 1 к нечетному числу дает в результате четное число. Так как один из множителей произведения, $(7n+1)$, делится на 2, то и все произведение делится на 2.

Таким образом, при любом натуральном $n$ данное выражение делится на 2.

Доказательство делимости на 3

Рассмотрим три случая в зависимости от остатка от деления $n$ на 3.

1. Если $n$ делится на 3 без остатка (т.е. $n = 3k$ для некоторого натурального $k$), то множитель $n$ делится на 3, а значит и все произведение делится на 3.

2. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 1 (т.е. $n=3k+1$ для некоторого целого $k \ge 0$), то множитель $(2n+1)$ будет делиться на 3. Проверим: $2n+1 = 2(3k+1)+1 = 6k+2+1 = 6k+3 = 3(2k+1)$. Так как этот множитель делится на 3, то и все произведение делится на 3.

3. Если $n$ при делении на 3 дает остаток 2 (т.е. $n=3k+2$ для некоторого целого $k \ge 0$), то множитель $(7n+1)$ будет делиться на 3. Проверим: $7n+1 = 7(3k+2)+1 = 21k+14+1 = 21k+15 = 3(7k+5)$. Так как этот множитель делится на 3, то и все произведение делится на 3.

Таким образом, при любом натуральном $n$ данное выражение делится на 3.

Заключение

Поскольку выражение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится и на 2, и на 3 при любом натуральном $n$, оно делится и на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что произведение $n(2n + 1)(7n + 1)$ делится на 6 при любом натуральном $n$.