Номер 750, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

750. Найдутся ли такие целые значения х, при которых значение многочлена:
а) 2х² + 6х + 3 окажется чётным числом;
б) х² + х + 2 окажется нечётным числом?

а)

Рассмотрим многочлен $2x^2 + 6x + 3$. Нам нужно определить, может ли его значение быть чётным при целых значениях $x$.

Проанализируем чётность каждого слагаемого в выражении при любом целом $x$:

• Первое слагаемое: $2x^2$. Поскольку $x$ — целое число, то и $x^2$ — целое. Произведение любого целого числа на 2 всегда является чётным числом. Следовательно, $2x^2$ — всегда чётное число.
• Второе слагаемое: $6x$. Поскольку $x$ — целое число, произведение $6x$ также всегда является чётным числом (так как 6 — чётное).
• Третье слагаемое: $3$. Это нечётное число.

Теперь рассмотрим сумму этих слагаемых. Сумма двух чётных чисел ($2x^2$ и $6x$) является чётным числом.

$2x^2 + 6x = \text{чётное} + \text{чётное} = \text{чётное}$

Тогда значение всего многочлена равно сумме этого чётного числа и нечётного числа 3:

$(2x^2 + 6x) + 3 = \text{чётное} + \text{нечётное} = \text{нечётное}$

Сумма чётного и нечётного чисел всегда нечётна.

Формально, можно вынести 2 за скобки из первых двух слагаемых: $2x^2 + 6x + 3 = 2(x^2 + 3x) + 3$. Пусть $k = x^2 + 3x$. Так как $x$ целое, $k$ тоже целое. Тогда выражение принимает вид $2k + 3$. Это число можно представить как $2k + 2 + 1 = 2(k+1) + 1$. Число такого вида по определению является нечётным для любого целого $k$.

Таким образом, при любом целом значении $x$ значение многочлена $2x^2 + 6x + 3$ всегда будет нечётным числом и никогда не сможет быть чётным.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.

б)

Рассмотрим многочлен $x^2 + x + 2$. Нам нужно определить, может ли его значение быть нечётным при целых значениях $x$.

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем $x$ за скобки:

$x^2 + x + 2 = x(x+1) + 2$

Проанализируем чётность выражения $x(x+1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел, $x$ и $x+1$.

• Если $x$ — чётное число, то произведение $x(x+1)$ также будет чётным (произведение чётного и нечётного чисел).
• Если $x$ — нечётное число, то $x+1$ будет чётным, и произведение $x(x+1)$ снова будет чётным (произведение нечётного и чётного чисел).

Следовательно, произведение двух последовательных целых чисел $x(x+1)$ всегда является чётным числом при любом целом $x$.

Теперь рассмотрим всё выражение $x(x+1) + 2$.

Мы установили, что $x(x+1)$ — всегда чётное число. Число 2 также является чётным.

Сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом:

$x(x+1) + 2 = \text{чётное} + \text{чётное} = \text{чётное}$

Формально, так как $x(x+1)$ всегда чётно, его можно представить в виде $2k$ для некоторого целого $k$. Тогда весь многочлен равен $2k + 2 = 2(k+1)$. Поскольку $k+1$ является целым числом, значение многочлена всегда является произведением целого числа на 2, то есть всегда чётным.

Таким образом, при любом целом значении $x$ значение многочлена $x^2 + x + 2$ всегда будет чётным числом и никогда не сможет быть нечётным.

Ответ: нет, таких целых значений $x$ не найдётся.