Номер 747, страница 157 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Параграф 10. Произведение многочленов. 31. Деление с остатком - номер 747, страница 157.

Условие.

747. Одно из двух целых чисел при делении на 9 даёт остаток 7, а другое даёт остаток 5. Какой остаток получится при делении на 9 их произведения?

Решение 1.

Пусть a и b – два целых числа.

a : 9 = k₁ (ост. 7), a = 9k₁ + 7;
b: 9 = k₂ (ост. 5), b = 9k₂ + 5;

ab = (9k₁ + 7) (9k₂ + 5) =
= 81k₁k₂ + 45k₁ + 63k₂ + 35 =
= 81k₁k₂ + 45k₁ + 63k₂ + 27 + 8 =
= 9(9k₁k₂ + 5k₁ + 7k₂ + 3) + 8.

Ответ: 8.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть первое целое число — это $a$, а второе — $b$.

Согласно условию задачи, число $a$ при делении на 9 даёт остаток 7. Это можно записать в виде равенства: $a = 9k + 7$, где $k$ — некоторое целое число (неполное частное).

Аналогично, число $b$ при делении на 9 даёт остаток 5, что можно записать как: $b = 9m + 5$, где $m$ — некоторое целое число.

Нам необходимо найти остаток от деления на 9 их произведения $a \cdot b$. Для этого найдем их произведение, подставив записанные выше выражения:

$a \cdot b = (9k + 7) \cdot (9m + 5)$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$a \cdot b = (9k \cdot 9m) + (9k \cdot 5) + (7 \cdot 9m) + (7 \cdot 5)$

$a \cdot b = 81km + 45k + 63m + 35$

Сгруппируем слагаемые. Первые три слагаемых ($81km$, $45k$ и $63m$) имеют коэффициенты, которые делятся на 9. Вынесем общий множитель 9 за скобки:

$a \cdot b = (81km + 45k + 63m) + 35 = 9 \cdot (9km + 5k + 7m) + 35$

В полученном выражении первое слагаемое $9 \cdot (9km + 5k + 7m)$ очевидно делится на 9 нацело. Это означает, что остаток от деления всего произведения $a \cdot b$ на 9 будет таким же, как остаток от деления числа 35 на 9.

Найдем остаток от деления 35 на 9:

$35 \div 9 = 3$ (остаток $8$), так как $35 = 9 \cdot 3 + 8$.

Следовательно, остаток от деления произведения двух чисел на 9 равен 8.

Ответ: 8