Номер 710, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Умножение многочлена на многочлен. § 10. Произведение многочленов. Глава 4. Многочлены - номер 710, страница 150.

710. Докажите, что выражение (у − 6)(у + 8) − 2(у − 25) при любом значении у принимает положительное значение.

Чтобы доказать, что выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ при любом значении y принимает положительное значение, необходимо его упростить.

Сначала раскроем скобки. Произведение $(y - 6)(y + 8)$ раскрывается по правилу умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(y - 6)(y + 8) = y \cdot y + y \cdot 8 - 6 \cdot y - 6 \cdot 8 = y^2 + 8y - 6y - 48$.
Приведя подобные слагаемые в полученном выражении, получаем:
$y^2 + 2y - 48$.

Далее раскроем вторую часть выражения, используя распределительный закон:
$-2(y - 25) = -2 \cdot y - 2 \cdot (-25) = -2y + 50$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:
$(y^2 + 2y - 48) + (-2y + 50) = y^2 + 2y - 48 - 2y + 50$.

Приведем подобные слагаемые:
$y^2 + (2y - 2y) + (-48 + 50) = y^2 + 0 + 2 = y^2 + 2$.

Итак, исходное выражение тождественно равно выражению $y^2 + 2$.

Проанализируем полученное выражение $y^2 + 2$. Квадрат любого действительного числа $y$ всегда является неотрицательным числом, то есть $y^2 \ge 0$.
Наименьшее значение, которое может принять слагаемое $y^2$, равно 0 (это происходит при $y = 0$).
Следовательно, наименьшее значение всего выражения $y^2 + 2$ достигается при $y=0$ и равно $0 + 2 = 2$.
Таким образом, для любого значения $y$ выполняется неравенство $y^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку 2 — это положительное число, то и любое значение выражения $y^2 + 2$ также будет положительным.
Это доказывает, что исходное выражение при любом значении $y$ принимает положительное значение.

Ответ: Выражение $(y - 6)(y + 8) - 2(y - 25)$ после упрощения равно $y^2 + 2$. Так как $y^2 \ge 0$ для любого $y$, то $y^2 + 2 \ge 2$, что означает, что выражение всегда принимает положительное значение.