Страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

792. Докажите, что:
а) сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14;
б) сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

а) Требуется доказать, что сумма трёх последовательных степеней числа 2 с натуральными показателями делится на 14.

Пусть $n$ — любой натуральный показатель ($n \in \mathbb{N}, n \ge 1$). Тогда три последовательные степени числа 2 можно записать как $2^n, 2^{n+1}$ и $2^{n+2}$.

Их сумма $S$ равна:

$S = 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^n$:

$S = 2^n(1 + 2^1 + 2^2) = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7$

Чтобы доказать делимость на 14, представим $S$ в виде произведения, где один из множителей равен 14. Так как $14 = 2 \cdot 7$ и $n \ge 1$, мы можем преобразовать выражение:

$S = 2^n \cdot 7 = 2^{n-1} \cdot 2 \cdot 7 = 14 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n-1 \ge 0$, следовательно, $2^{n-1}$ является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда делится на 14. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2}$ равна $14 \cdot 2^{n-1}$, что очевидно делится на 14 для любого натурального $n$.

б) Требуется доказать, что сумма двух последовательных степеней числа 5 с натуральными показателями делится на 30.

Пусть $n$ — любой натуральный показатель ($n \in \mathbb{N}, n \ge 1$). Тогда две последовательные степени числа 5 можно записать как $5^n$ и $5^{n+1}$.

Их сумма $S$ равна:

$S = 5^n + 5^{n+1}$

Вынесем за скобки общий множитель $5^n$:

$S = 5^n(1 + 5^1) = 5^n(1 + 5) = 5^n \cdot 6$

Чтобы доказать делимость на 30, представим $S$ в виде произведения, где один из множителей равен 30. Так как $30 = 5 \cdot 6$ и $n \ge 1$, мы можем преобразовать выражение:

$S = 5^n \cdot 6 = 5^{n-1} \cdot 5 \cdot 6 = 30 \cdot 5^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n-1 \ge 0$, следовательно, $5^{n-1}$ является целым числом. Таким образом, сумма $S$ всегда делится на 30. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма $5^n + 5^{n+1}$ равна $30 \cdot 5^{n-1}$, что очевидно делится на 30 для любого натурального $n$.

793. Докажите, что выражение тождественно равно некоторому двучлену:

Для доказательства того, что каждое выражение тождественно равно некоторому двучлену, мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

а)

Раскроем скобки в выражении $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$:

$(x + y)(x^2 - xy + y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot (-xy) + x \cdot y^2 + y \cdot x^2 + y \cdot (-xy) + y \cdot y^2 = x^3 - x^2y + xy^2 + x^2y - xy^2 + y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (-x^2y + x^2y) + (xy^2 - xy^2) + y^3 = x^3 + 0 + 0 + y^3 = x^3 + y^3$.

Полученное выражение $x^3 + y^3$ является двучленом. Это тождество известно как формула суммы кубов.

Ответ: $x^3 + y^3$.

б)

Раскроем скобки в выражении $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x \cdot x^2 + x \cdot xy + x \cdot y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot xy - y \cdot y^2 = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (x^2y - x^2y) + (xy^2 - xy^2) - y^3 = x^3 + 0 + 0 - y^3 = x^3 - y^3$.

Полученное выражение $x^3 - y^3$ является двучленом. Это тождество известно как формула разности кубов.

Ответ: $x^3 - y^3$.

в)

Раскроем скобки в выражении $(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3)$:

$(a + b)(a^3 - a^2b + ab^2 - b^3) = a \cdot a^3 + a \cdot (-a^2b) + a \cdot ab^2 + a \cdot (-b^3) + b \cdot a^3 + b \cdot (-a^2b) + b \cdot ab^2 + b \cdot (-b^3)$

$= a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + a^3b - a^2b^2 + ab^3 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (-a^3b + a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (-ab^3 + ab^3) - b^4 = a^4 + 0 + 0 + 0 - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом.

Ответ: $a^4 - b^4$.

г)

Раскроем скобки в выражении $(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$:

$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a \cdot a^3 + a \cdot a^2b + a \cdot ab^2 + a \cdot b^3 - b \cdot a^3 - b \cdot a^2b - b \cdot ab^2 - b \cdot b^3$

$= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 + 0 + 0 + 0 - b^4 = a^4 - b^4$.

Полученное выражение $a^4 - b^4$ является двучленом.

Ответ: $a^4 - b^4$.

794. Упростите:

а) Для упрощения выражения раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Сначала перемножим многочлены в скобках:

$(a^2 - 7)(a + 2) = a^2 \cdot a + a^2 \cdot 2 - 7 \cdot a - 7 \cdot 2 = a^3 + 2a^2 - 7a - 14$

$(2a - 1)(a - 14) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-14) - 1 \cdot a - 1 \cdot (-14) = 2a^2 - 28a - a + 14 = 2a^2 - 29a + 14$

Теперь подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:

$(a^3 + 2a^2 - 7a - 14) - (2a^2 - 29a + 14) = a^3 + 2a^2 - 7a - 14 - 2a^2 + 29a - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2 - 2a^2) + (-7a + 29a) + (-14 - 14) = a^3 + 0 + 22a - 28 = a^3 + 22a - 28$

Ответ: $a^3 + 22a - 28$.

б) Раскроем скобки, перемножая многочлены, а затем приведем подобные слагаемые:

$(2 - b)(1 + 2b) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2b - b \cdot 1 - b \cdot 2b = 2 + 4b - b - 2b^2 = 2 + 3b - 2b^2$

$(1 + b)(b^3 - 3b) = 1 \cdot b^3 + 1 \cdot (-3b) + b \cdot b^3 + b \cdot (-3b) = b^3 - 3b + b^4 - 3b^2$

Сложим полученные выражения:

$(2 + 3b - 2b^2) + (b^4 + b^3 - 3b^2 - 3b) = 2 + 3b - 2b^2 + b^4 + b^3 - 3b^2 - 3b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые, располагая их по убыванию степеней:

$b^4 + b^3 + (-2b^2 - 3b^2) + (3b - 3b) + 2 = b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$

Ответ: $b^4 + b^3 - 5b^2 + 2$.

в) Сначала выполним умножение многочленов в скобках:

$(x - 2y)(2x + y) = x \cdot 2x + x \cdot y - 2y \cdot 2x - 2y \cdot y = 2x^2 + xy - 4xy - 2y^2 = 2x^2 - 3xy - 2y^2$

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$2x^2 - (2x^2 - 3xy - 2y^2) = 2x^2 - 2x^2 + 3xy + 2y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - 2x^2) + 3xy + 2y^2 = 3xy + 2y^2$

Ответ: $3xy + 2y^2$.

г) Раскроем скобки в каждой части выражения:

$(m - 3n)(m + 2n) = m^2 + 2mn - 3mn - 6n^2 = m^2 - mn - 6n^2$

$m(m - n) = m^2 - mn$

Вычтем второе выражение из первого:

$(m^2 - mn - 6n^2) - (m^2 - mn) = m^2 - mn - 6n^2 - m^2 + mn$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^2 - m^2) + (-mn + mn) - 6n^2 = -6n^2$

Ответ: $-6n^2$.

д) Раскроем скобки в каждой части выражения:

$(a - 2b)(b + 4a) = a \cdot b + a \cdot 4a - 2b \cdot b - 2b \cdot 4a = ab + 4a^2 - 2b^2 - 8ab = 4a^2 - 7ab - 2b^2$

$7b(a + b) = 7ab + 7b^2$

Вычтем второе выражение из первого:

$(4a^2 - 7ab - 2b^2) - (7ab + 7b^2) = 4a^2 - 7ab - 2b^2 - 7ab - 7b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 + (-7ab - 7ab) + (-2b^2 - 7b^2) = 4a^2 - 14ab - 9b^2$

Ответ: $4a^2 - 14ab - 9b^2$.

е) Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(p - q)(p + 3q) = p^2 + 3pq - pq - 3q^2 = p^2 + 2pq - 3q^2$

Подставим результат в исходное выражение:

$(p^2 + 2pq - 3q^2) - (p^2 + 3q^2) = p^2 + 2pq - 3q^2 - p^2 - 3q^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(p^2 - p^2) + 2pq + (-3q^2 - 3q^2) = 2pq - 6q^2$

Ответ: $2pq - 6q^2$.

795. Докажите, что выражение (у + 8)(у − 7) − 4(0,25у − 16) при любом значении у принимает положительные значения.

Для того чтобы доказать, что выражение $(y+8)(y-7) - 4(0,25y - 16)$ при любом значении $y$ принимает положительные значения, необходимо его упростить.

1. Раскроем первые скобки, перемножив многочлены $(y+8)$ и $(y-7)$:
$(y+8)(y-7) = y \cdot y - 7y + 8y - 56 = y^2 + y - 56$.

2. Раскроем вторые скобки, умножив число $-4$ на выражение в скобках:
$-4(0,25y - 16) = -4 \cdot 0,25y - 4 \cdot (-16) = -y + 64$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:
$(y^2 + y - 56) + (-y + 64) = y^2 + y - 56 - y + 64 = y^2 + (y-y) + (64-56) = y^2 + 8$.

4. Проанализируем полученное выражение $y^2 + 8$.
Квадрат любого действительного числа $y$ является неотрицательным, то есть $y^2 \ge 0$.
Следовательно, сумма неотрицательного числа $y^2$ и положительного числа $8$ всегда будет положительной. Минимальное значение выражения $y^2$ равно 0 (при $y=0$). Тогда минимальное значение всего выражения $y^2 + 8$ составляет $0 + 8 = 8$.
Так как $y^2 + 8 \ge 8$, а $8 > 0$, то выражение всегда положительно.

Ответ: Исходное выражение после упрощения равно $y^2 + 8$. Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого $y$, то наименьшее значение выражения $y^2 + 8$ равно $8$. Так как $8 > 0$, выражение всегда принимает положительные значения, что и требовалось доказать.

796. Докажите, что значение выражения:
а) (3⁵ − 3⁴)(3³ + 3²) делится на 24;
б) (2¹⁰ + 2⁸)(2⁵ − 2³) делится на 60;
в) (16³ − 8³)(4³ + 2³) делится на 63;
г) (125² + 25²)(5² − 1) делится на 39.

а)

Для доказательства преобразуем выражение $(3^5 - 3^4)(3^3 + 3^2)$. Вынесем общие множители в каждой из скобок:

$3^5 - 3^4 = 3^4(3^1 - 1) = 3^4(3 - 1) = 3^4 \cdot 2$

$3^3 + 3^2 = 3^2(3^1 + 1) = 3^2(3 + 1) = 3^2 \cdot 4$

Теперь перемножим полученные результаты:

$(3^4 \cdot 2) \cdot (3^2 \cdot 4) = 3^4 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 4 = 3^{4+2} \cdot 8 = 3^6 \cdot 8$

Чтобы проверить делимость на 24, представим полученное произведение в виде, содержащем множитель 24. Так как $24 = 3 \cdot 8$, то:

$3^6 \cdot 8 = 3^5 \cdot 3 \cdot 8 = 3^5 \cdot (3 \cdot 8) = 3^5 \cdot 24$

Поскольку один из множителей равен 24, то все произведение делится на 24.

Ответ: Выражение равно $3^5 \cdot 24$, поэтому оно делится на 24.

б)

Преобразуем выражение $(2^{10} + 2^8)(2^5 - 2^3)$, вынося общие множители в каждой из скобок:

$2^{10} + 2^8 = 2^8(2^2 + 1) = 2^8(4 + 1) = 2^8 \cdot 5$

$2^5 - 2^3 = 2^3(2^2 - 1) = 2^3(4 - 1) = 2^3 \cdot 3$

Перемножим полученные результаты:

$(2^8 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3) = 2^8 \cdot 2^3 \cdot 5 \cdot 3 = 2^{8+3} \cdot 15 = 2^{11} \cdot 15$

Чтобы проверить делимость на 60, представим полученное произведение в виде, содержащем множитель 60. Так как $60 = 4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 15$, то:

$2^{11} \cdot 15 = 2^9 \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^9 \cdot (4 \cdot 15) = 2^9 \cdot 60$

Поскольку один из множителей равен 60, то все произведение делится на 60.

Ответ: Выражение равно $2^9 \cdot 60$, поэтому оно делится на 60.

в)

Преобразуем выражение $(16^3 - 8^3)(4^3 + 2^3)$. Сначала представим основания степеней как степени числа 2: $16 = 2^4$, $8 = 2^3$, $4 = 2^2$.

$((2^4)^3 - (2^3)^3)((2^2)^3 + 2^3) = (2^{12} - 2^9)(2^6 + 2^3)$

Вынесем общие множители в каждой из скобок:

$2^{12} - 2^9 = 2^9(2^3 - 1) = 2^9(8 - 1) = 2^9 \cdot 7$

$2^6 + 2^3 = 2^3(2^3 + 1) = 2^3(8 + 1) = 2^3 \cdot 9$

Перемножим полученные результаты:

$(2^9 \cdot 7) \cdot (2^3 \cdot 9) = 2^9 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 9 = 2^{12} \cdot (7 \cdot 9) = 2^{12} \cdot 63$

Поскольку один из множителей равен 63, то все произведение делится на 63.

Ответ: Выражение равно $2^{12} \cdot 63$, поэтому оно делится на 63.

г)

Преобразуем выражение $(125^2 + 25^2)(5^2 - 1)$. Сначала представим основания степеней как степени числа 5: $125 = 5^3$, $25 = 5^2$.

Первый множитель: $125^2 + 25^2 = (5^3)^2 + (5^2)^2 = 5^6 + 5^4$. Вынесем общий множитель:

$5^4(5^2 + 1) = 5^4(25 + 1) = 5^4 \cdot 26$

Второй множитель: $5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$.

Перемножим полученные результаты:

$(5^4 \cdot 26) \cdot 24 = 5^4 \cdot 26 \cdot 24$

Чтобы проверить делимость на 39, разложим множители на простые числа. Так как $39 = 3 \cdot 13$, а в нашем выражении есть множители $26 = 2 \cdot 13$ и $24 = 3 \cdot 8$, мы можем перегруппировать множители:

$5^4 \cdot (2 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 8) = (5^4 \cdot 2 \cdot 8) \cdot (13 \cdot 3) = (5^4 \cdot 16) \cdot 39$

Поскольку один из множителей равен 39, то все произведение делится на 39.

Ответ: Выражение равно $(5^4 \cdot 16) \cdot 39$, поэтому оно делится на 39.

797. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:
а) 126у³ + (х − 5у)(х² + 25у² + 5ху) при х = −3, у = −2;
б) m³ + n³ − (m² − 2mn − n²)(m − n) при m = −3, n = 4.

а)

Сначала упростим данное выражение: $126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$.

Заметим, что часть выражения $(x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ представляет собой формулу разности кубов. Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: $(x - 5y)(x^2 + 5xy + (5y)^2)$.

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 5y$. Применяя формулу, получаем:

$(x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) = x^3 - (5y)^3 = x^3 - 125y^3$.

Теперь подставим это упрощенное произведение обратно в исходное выражение:

$126y^3 + (x^3 - 125y^3) = 126y^3 + x^3 - 125y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (126y^3 - 125y^3) = x^3 + y^3$.

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $x = -3$ и $y = -2$.

Подставляем значения переменных в упрощенное выражение $x^3 + y^3$:

$(-3)^3 + (-2)^3 = -27 + (-8) = -27 - 8 = -35$.

Ответ: -35.

б)

Сначала упростим данное выражение: $m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$.

Раскроем скобки в произведении $(m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$:

$(m^2 - 2mn - n^2)(m - n) = m(m^2 - 2mn - n^2) - n(m^2 - 2mn - n^2)$

$= (m^3 - 2m^2n - mn^2) - (m^2n - 2mn^2 - n^3)$

$= m^3 - 2m^2n - mn^2 - m^2n + 2mn^2 + n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$m^3 + (-2m^2n - m^2n) + (-mn^2 + 2mn^2) + n^3 = m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$m^3 + n^3 - (m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3)$.

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$m^3 + n^3 - m^3 + 3m^2n - mn^2 - n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$(m^3 - m^3) + (n^3 - n^3) + 3m^2n - mn^2 = 3m^2n - mn^2$.

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $m = -3$ и $n = 4$.

Подставляем значения переменных в упрощенное выражение $3m^2n - mn^2$:

$3(-3)^2(4) - (-3)(4)^2 = 3(9)(4) - (-3)(16) = 3 \cdot 36 - (-48) = 108 + 48 = 156$.

Ответ: 156.

798. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены, а затем приведём подобные слагаемые.
$(a-3)(a^2-8a+5) - (a-8)(a^2-3a+5) = $
$= (a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-8a) - 3 \cdot 5) - (a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 - 8 \cdot a^2 - 8 \cdot (-3a) - 8 \cdot 5) = $
$= (a^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15) - (a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40) = $
Сгруппируем подобные члены внутри скобок:
$= (a^3 - (8+3)a^2 + (5+24)a - 15) - (a^3 - (3+8)a^2 + (5+24)a - 40) = $
$= (a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40) = $
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$= a^3 - 11a^2 + 29a - 15 - a^3 + 11a^2 - 29a + 40 = $
Сократим подобные слагаемые:
$= (a^3 - a^3) + (-11a^2 + 11a^2) + (29a - 29a) + (-15 + 40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.
В результате упрощения получилось число 25. Так как результат не содержит переменную $a$, значение выражения не зависит от её значения.
Ответ: 25.

б) Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$(x^2-3x+2)(2x+5) - (2x^2+7x+17)(x-4) = $
$= (x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot 5 - 3x \cdot 2x - 3x \cdot 5 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot 5) - (2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-4) + 7x \cdot x + 7x \cdot (-4) + 17 \cdot x + 17 \cdot (-4)) = $
$= (2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x + 10) - (2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68) = $
Сгруппируем подобные члены внутри скобок:
$= (2x^3 + (5-6)x^2 + (-15+4)x + 10) - (2x^3 + (-8+7)x^2 + (-28+17)x - 68) = $
$= (2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68) = $
Раскроем вторые скобки:
$= 2x^3 - x^2 - 11x + 10 - 2x^3 + x^2 + 11x + 68 = $
Сократим подобные слагаемые:
$= (2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (-11x + 11x) + (10 + 68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$.
В результате упрощения получилось число 78. Так как результат не содержит переменную $x$, значение выражения не зависит от её значения.
Ответ: 78.

в) Упростим выражение, выполнив умножение многочленов и приведя подобные члены.
$(b^2+4b-5)(b-2) + (3-b)(b^2+5b+2) = $
$= (b^2 \cdot b + b^2 \cdot (-2) + 4b \cdot b + 4b \cdot (-2) - 5 \cdot b - 5 \cdot (-2)) + (3 \cdot b^2 + 3 \cdot 5b + 3 \cdot 2 - b \cdot b^2 - b \cdot 5b - b \cdot 2) = $
$= (b^3 - 2b^2 + 4b^2 - 8b - 5b + 10) + (3b^2 + 15b + 6 - b^3 - 5b^2 - 2b) = $
Сгруппируем подобные члены внутри скобок:
$= (b^3 + (-2+4)b^2 + (-8-5)b + 10) + (-b^3 + (3-5)b^2 + (15-2)b + 6) = $
$= (b^3 + 2b^2 - 13b + 10) + (-b^3 - 2b^2 + 13b + 6) = $
Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
$= b^3 + 2b^2 - 13b + 10 - b^3 - 2b^2 + 13b + 6 = $
$= (b^3 - b^3) + (2b^2 - 2b^2) + (-13b + 13b) + (10 + 6) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.
В результате упрощения получилось число 16. Так как результат не содержит переменную $b$, значение выражения не зависит от её значения.
Ответ: 16.

799. Докажите, что:
а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) Обозначим среднее из пяти последовательных натуральных чисел через $n$. Чтобы все числа были натуральными, необходимо, чтобы наименьшее из них, $n-2$, было не меньше 1, то есть $n \geq 3$.

Тогда эти пять чисел можно записать в виде: $n-2, n-1, n, n+1, n+2$.

Найдем их сумму $S$:

$S = (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = n - 2 + n - 1 + n + n + 1 + n + 2 = (n+n+n+n+n) + (-2-1+1+2)$

$S = 5n + 0 = 5n$

Поскольку $n$ — целое число, то произведение $5n$ всегда делится на 5 без остатка. Таким образом, сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Любое нечётное число можно представить в виде $2n+1$, где $n$ — целое число. Обозначим первое из четырёх последовательных нечётных чисел как $2n+1$.

Каждое следующее нечётное число на 2 больше предыдущего. Тогда последовательность четырёх нечётных чисел будет: $2n+1$, $2n+3$, $2n+5$, $2n+7$.

Найдем их сумму $S$:

$S = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + (2n+7)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (2n+2n+2n+2n) + (1+3+5+7)$

$S = 8n + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S = 8(n+2)$

Так как $n$ — целое число, то $n+2$ также является целым числом. Произведение $8(n+2)$ делится на 8 без остатка. Следовательно, сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

800. Найдите четыре последовательных натуральных числа, если известно, что произведение первых двух из этих чисел на 38 меньше произведения двух следующих.

Пусть первое из четырех последовательных натуральных чисел равно $n$. Тогда три следующих числа будут $n + 1$, $n + 2$ и $n + 3$. Поскольку это натуральные числа, $n$ должно быть целым положительным числом.

Произведение первых двух чисел равно $n \cdot (n + 1)$.

Произведение двух следующих (третьего и четвертого) чисел равно $(n + 2) \cdot (n + 3)$.

По условию задачи, произведение первых двух чисел на 38 меньше произведения двух следующих. Составим уравнение на основе этого условия:

$(n + 2)(n + 3) - n(n + 1) = 38$

Раскроем скобки и упростим выражение в левой части уравнения:

$(n^2 + 3n + 2n + 6) - (n^2 + n) = 38$

$n^2 + 5n + 6 - n^2 - n = 38$

Приведем подобные слагаемые:

$(n^2 - n^2) + (5n - n) + 6 = 38$

$4n + 6 = 38$

Решим полученное линейное уравнение:

$4n = 38 - 6$

$4n = 32$

$n = \frac{32}{4}$

$n = 8$

Итак, мы нашли первое число. Теперь найдем остальные три:

Первое число: $n = 8$

Второе число: $n + 1 = 8 + 1 = 9$

Третье число: $n + 2 = 8 + 2 = 10$

Четвертое число: $n + 3 = 8 + 3 = 11$

Искомые числа: 8, 9, 10, 11.

Проверим результат. Произведение первых двух чисел: $8 \times 9 = 72$. Произведение двух следующих: $10 \times 11 = 110$. Разница между ними: $110 - 72 = 38$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 8, 9, 10, 11.