Номер 797, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 797, страница 162.

797. Упростите выражение и найдите его значение при указанных значениях переменных:
а) 126у³ + (х − 5у)(х² + 25у² + 5ху) при х = −3, у = −2;
б) m³ + n³ − (m² − 2mn − n²)(m − n) при m = −3, n = 4.

а)

Сначала упростим данное выражение: $126y^3 + (x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$.

Заметим, что часть выражения $(x - 5y)(x^2 + 25y^2 + 5xy)$ представляет собой формулу разности кубов. Переставим слагаемые во второй скобке для наглядности: $(x - 5y)(x^2 + 5xy + (5y)^2)$.

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 5y$. Применяя формулу, получаем:

$(x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) = x^3 - (5y)^3 = x^3 - 125y^3$.

Теперь подставим это упрощенное произведение обратно в исходное выражение:

$126y^3 + (x^3 - 125y^3) = 126y^3 + x^3 - 125y^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + (126y^3 - 125y^3) = x^3 + y^3$.

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $x = -3$ и $y = -2$.

Подставляем значения переменных в упрощенное выражение $x^3 + y^3$:

$(-3)^3 + (-2)^3 = -27 + (-8) = -27 - 8 = -35$.

Ответ: -35.

б)

Сначала упростим данное выражение: $m^3 + n^3 - (m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$.

Раскроем скобки в произведении $(m^2 - 2mn - n^2)(m - n)$:

$(m^2 - 2mn - n^2)(m - n) = m(m^2 - 2mn - n^2) - n(m^2 - 2mn - n^2)$

$= (m^3 - 2m^2n - mn^2) - (m^2n - 2mn^2 - n^3)$

$= m^3 - 2m^2n - mn^2 - m^2n + 2mn^2 + n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$m^3 + (-2m^2n - m^2n) + (-mn^2 + 2mn^2) + n^3 = m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$m^3 + n^3 - (m^3 - 3m^2n + mn^2 + n^3)$.

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$m^3 + n^3 - m^3 + 3m^2n - mn^2 - n^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$(m^3 - m^3) + (n^3 - n^3) + 3m^2n - mn^2 = 3m^2n - mn^2$.

Теперь, когда выражение упрощено, найдем его значение при $m = -3$ и $n = 4$.

Подставляем значения переменных в упрощенное выражение $3m^2n - mn^2$:

$3(-3)^2(4) - (-3)(4)^2 = 3(9)(4) - (-3)(16) = 3 \cdot 36 - (-48) = 108 + 48 = 156$.

Ответ: 156.