Номер 798, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

798. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки, перемножая многочлены, а затем приведём подобные слагаемые.
$(a-3)(a^2-8a+5) - (a-8)(a^2-3a+5) = $
$= (a \cdot a^2 + a \cdot (-8a) + a \cdot 5 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-8a) - 3 \cdot 5) - (a \cdot a^2 + a \cdot (-3a) + a \cdot 5 - 8 \cdot a^2 - 8 \cdot (-3a) - 8 \cdot 5) = $
$= (a^3 - 8a^2 + 5a - 3a^2 + 24a - 15) - (a^3 - 3a^2 + 5a - 8a^2 + 24a - 40) = $
Сгруппируем подобные члены внутри скобок:
$= (a^3 - (8+3)a^2 + (5+24)a - 15) - (a^3 - (3+8)a^2 + (5+24)a - 40) = $
$= (a^3 - 11a^2 + 29a - 15) - (a^3 - 11a^2 + 29a - 40) = $
Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:
$= a^3 - 11a^2 + 29a - 15 - a^3 + 11a^2 - 29a + 40 = $
Сократим подобные слагаемые:
$= (a^3 - a^3) + (-11a^2 + 11a^2) + (29a - 29a) + (-15 + 40) = 0 + 0 + 0 + 25 = 25$.
В результате упрощения получилось число 25. Так как результат не содержит переменную $a$, значение выражения не зависит от её значения.
Ответ: 25.

б) Упростим данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
$(x^2-3x+2)(2x+5) - (2x^2+7x+17)(x-4) = $
$= (x^2 \cdot 2x + x^2 \cdot 5 - 3x \cdot 2x - 3x \cdot 5 + 2 \cdot 2x + 2 \cdot 5) - (2x^2 \cdot x + 2x^2 \cdot (-4) + 7x \cdot x + 7x \cdot (-4) + 17 \cdot x + 17 \cdot (-4)) = $
$= (2x^3 + 5x^2 - 6x^2 - 15x + 4x + 10) - (2x^3 - 8x^2 + 7x^2 - 28x + 17x - 68) = $
Сгруппируем подобные члены внутри скобок:
$= (2x^3 + (5-6)x^2 + (-15+4)x + 10) - (2x^3 + (-8+7)x^2 + (-28+17)x - 68) = $
$= (2x^3 - x^2 - 11x + 10) - (2x^3 - x^2 - 11x - 68) = $
Раскроем вторые скобки:
$= 2x^3 - x^2 - 11x + 10 - 2x^3 + x^2 + 11x + 68 = $
Сократим подобные слагаемые:
$= (2x^3 - 2x^3) + (-x^2 + x^2) + (-11x + 11x) + (10 + 68) = 0 + 0 + 0 + 78 = 78$.
В результате упрощения получилось число 78. Так как результат не содержит переменную $x$, значение выражения не зависит от её значения.
Ответ: 78.

в) Упростим выражение, выполнив умножение многочленов и приведя подобные члены.
$(b^2+4b-5)(b-2) + (3-b)(b^2+5b+2) = $
$= (b^2 \cdot b + b^2 \cdot (-2) + 4b \cdot b + 4b \cdot (-2) - 5 \cdot b - 5 \cdot (-2)) + (3 \cdot b^2 + 3 \cdot 5b + 3 \cdot 2 - b \cdot b^2 - b \cdot 5b - b \cdot 2) = $
$= (b^3 - 2b^2 + 4b^2 - 8b - 5b + 10) + (3b^2 + 15b + 6 - b^3 - 5b^2 - 2b) = $
Сгруппируем подобные члены внутри скобок:
$= (b^3 + (-2+4)b^2 + (-8-5)b + 10) + (-b^3 + (3-5)b^2 + (15-2)b + 6) = $
$= (b^3 + 2b^2 - 13b + 10) + (-b^3 - 2b^2 + 13b + 6) = $
Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:
$= b^3 + 2b^2 - 13b + 10 - b^3 - 2b^2 + 13b + 6 = $
$= (b^3 - b^3) + (2b^2 - 2b^2) + (-13b + 13b) + (10 + 6) = 0 + 0 + 0 + 16 = 16$.
В результате упрощения получилось число 16. Так как результат не содержит переменную $b$, значение выражения не зависит от её значения.
Ответ: 16.