Номер 799, страница 162 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

799. Докажите, что:
а) сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5;
б) сумма четырёх последовательных нечётных чисел кратна 8.

а) Обозначим среднее из пяти последовательных натуральных чисел через $n$. Чтобы все числа были натуральными, необходимо, чтобы наименьшее из них, $n-2$, было не меньше 1, то есть $n \geq 3$.

Тогда эти пять чисел можно записать в виде: $n-2, n-1, n, n+1, n+2$.

Найдем их сумму $S$:

$S = (n-2) + (n-1) + n + (n+1) + (n+2)$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$S = n - 2 + n - 1 + n + n + 1 + n + 2 = (n+n+n+n+n) + (-2-1+1+2)$

$S = 5n + 0 = 5n$

Поскольку $n$ — целое число, то произведение $5n$ всегда делится на 5 без остатка. Таким образом, сумма пяти последовательных натуральных чисел кратна 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Любое нечётное число можно представить в виде $2n+1$, где $n$ — целое число. Обозначим первое из четырёх последовательных нечётных чисел как $2n+1$.

Каждое следующее нечётное число на 2 больше предыдущего. Тогда последовательность четырёх нечётных чисел будет: $2n+1$, $2n+3$, $2n+5$, $2n+7$.

Найдем их сумму $S$:

$S = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) + (2n+7)$

Сгруппируем слагаемые:

$S = (2n+2n+2n+2n) + (1+3+5+7)$

$S = 8n + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$S = 8(n+2)$

Так как $n$ — целое число, то $n+2$ также является целым числом. Произведение $8(n+2)$ делится на 8 без остатка. Следовательно, сумма четырёх последовательных нечётных чисел всегда кратна 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.