Номер 803, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 4. Многочлены. Дополнительные упражнения к главе IV. К параграфу 10 - номер 803, страница 163.

Условие.

803. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см². Найдите площадь прямоугольника.

Решение 1.

Пусть x (см) – длина стороны квадрата, тогда (x + 4) см – длина прямоугольника, (x - 5) см – ширина прямоугольника. Зная, что ${\mathrm{S}}_{\mathrm{кв}.}>{\mathrm{S}}_{\mathrm{прям}.}$ на 40 см², составим и решим уравнение:

1) x² - (x + 4) (x - 5) = 40;
x² - (x² + 4x - 5x - 20) = 40;
x² - x² + x + 20 = 40;
x = 40 - 20;
x = 20;

2) 20 + 4 = 24 (см) – длина прямоугольника;

3) 20 - 5 = 15 (см) – ширина прямоугольника;

4) ${\mathrm{S}}_{\mathrm{прям}.}=24·15=360 \left({\mathrm{см}}^2\right).$

Ответ: 360 см².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника в см, а $w$ — его первоначальная ширина в см. Тогда площадь прямоугольника равна $A_{прям} = l \cdot w$.

Согласно условию задачи, если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Это означает, что его новые стороны будут равны.

Новая длина: $l' = l - 4$.
Новая ширина: $w' = w + 5$.

Поскольку получившаяся фигура — квадрат, его стороны равны: $l - 4 = w + 5$

Из этого равенства выразим длину $l$ через ширину $w$: $l = w + 5 + 4$
$l = w + 9$

Площадь получившегося квадрата $A_{кв}$ можно выразить как $(l - 4)^2$ или как $(w + 5)^2$.

Также по условию известно, что площадь квадрата на 40 см? больше площади исходного прямоугольника: $A_{кв} = A_{прям} + 40$

Теперь подставим выражения для площадей в это уравнение. Удобнее использовать выражения, содержащие только переменную $w$: $A_{кв} = (w + 5)^2$
$A_{прям} = l \cdot w = (w + 9) \cdot w$

Получаем уравнение: $(w + 5)^2 = (w + 9) \cdot w + 40$

Раскроем скобки и решим его: $w^2 + 10w + 25 = w^2 + 9w + 40$

Перенесем члены с $w$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $w^2 - w^2 + 10w - 9w = 40 - 25$
$w = 15$

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 15 см. Теперь найдем его длину: $l = w + 9 = 15 + 9 = 24$ см.

Наконец, найдем площадь прямоугольника: $A_{прям} = l \cdot w = 24 \cdot 15 = 360$ см?.

Ответ: 360 см?.