Номер 803, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 10. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Многочлены - номер 803, страница 163.

803. Если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40 см². Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $l$ — первоначальная длина прямоугольника в см, а $w$ — его первоначальная ширина в см. Тогда площадь прямоугольника равна $A_{прям} = l \cdot w$.

Согласно условию задачи, если длину прямоугольника уменьшить на 4 см, а ширину увеличить на 5 см, то получится квадрат. Это означает, что его новые стороны будут равны.

Новая длина: $l' = l - 4$.
Новая ширина: $w' = w + 5$.

Поскольку получившаяся фигура — квадрат, его стороны равны: $l - 4 = w + 5$

Из этого равенства выразим длину $l$ через ширину $w$: $l = w + 5 + 4$
$l = w + 9$

Площадь получившегося квадрата $A_{кв}$ можно выразить как $(l - 4)^2$ или как $(w + 5)^2$.

Также по условию известно, что площадь квадрата на 40 см? больше площади исходного прямоугольника: $A_{кв} = A_{прям} + 40$

Теперь подставим выражения для площадей в это уравнение. Удобнее использовать выражения, содержащие только переменную $w$: $A_{кв} = (w + 5)^2$
$A_{прям} = l \cdot w = (w + 9) \cdot w$

Получаем уравнение: $(w + 5)^2 = (w + 9) \cdot w + 40$

Раскроем скобки и решим его: $w^2 + 10w + 25 = w^2 + 9w + 40$

Перенесем члены с $w$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую: $w^2 - w^2 + 10w - 9w = 40 - 25$
$w = 15$

Таким образом, ширина исходного прямоугольника равна 15 см. Теперь найдем его длину: $l = w + 9 = 15 + 9 = 24$ см.

Наконец, найдем площадь прямоугольника: $A_{прям} = l \cdot w = 24 \cdot 15 = 360$ см?.

Ответ: 360 см?.