Номер 809, страница 163 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

809. Разложите на множители многочлен:

Для разложения квадратного трехчлена вида $ax^2 + bx + c$ на множители используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

а) $x^2 - 10x + 24$

Приравняем многочлен к нулю, чтобы найти его корни: $x^2 - 10x + 24 = 0$.

Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-10$, $c=24$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 2}{2} = 4$.

$x_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 2}{2} = 6$.

Подставляем корни в формулу разложения:

$x^2 - 10x + 24 = 1 \cdot (x - 4)(x - 6)$.

Ответ: $(x - 4)(x - 6)$.

б) $x^2 - 13x + 40$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 40 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-13$, $c=40$.

Дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-13) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 3}{2} = 5$.

$x_2 = \frac{-(-13) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 3}{2} = 8$.

Разложение многочлена:

$x^2 - 13x + 40 = (x - 5)(x - 8)$.

Ответ: $(x - 5)(x - 8)$.

в) $x^2 + 8x + 7$

Найдем корни уравнения $x^2 + 8x + 7 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=8$, $c=7$.

Дискриминант: $D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 6}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-8 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 6}{2} = -1$.

Разложение многочлена:

$x^2 + 8x + 7 = (x - (-7))(x - (-1)) = (x + 7)(x + 1)$.

Ответ: $(x + 1)(x + 7)$.

г) $x^2 + 15x + 54$

Найдем корни уравнения $x^2 + 15x + 54 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=15$, $c=54$.

Дискриминант: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot 54 = 225 - 216 = 9$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-15 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 - 3}{2} = -9$.

$x_2 = \frac{-15 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-15 + 3}{2} = -6$.

Разложение многочлена:

$x^2 + 15x + 54 = (x - (-9))(x - (-6)) = (x + 9)(x + 6)$.

Ответ: $(x + 6)(x + 9)$.

д) $x^2 + x - 12$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=1$, $c=-12$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

Разложение многочлена:

$x^2 + x - 12 = (x - (-4))(x - 3) = (x + 4)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 3)(x + 4)$.

е) $x^2 - 2x - 35$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.

Коэффициенты: $a=1$, $b=-2$, $c=-35$.

Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$.

Разложение многочлена:

$x^2 - 2x - 35 = (x - (-5))(x - 7) = (x + 5)(x - 7)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 5)$.