Номер 811, страница 164 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

811. Докажите тождество:

а)

Чтобы доказать тождество $(y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^4(y + 1)(y - 1)$, преобразуем его левую часть. Для этого разложим на множители выражения в каждой из скобок.

В первом множителе $(y^4 + y^3)$ вынесем за скобки общий множитель $y^3$:

$y^4 + y^3 = y^3(y + 1)$

Во втором множителе $(y^2 - y)$ вынесем за скобки общий множитель $y$:

$y^2 - y = y(y - 1)$

Теперь подставим полученные разложения в левую часть исходного выражения и перемножим их:

$(y^4 + y^3)(y^2 - y) = (y^3(y + 1)) \cdot (y(y - 1)) = y^3 \cdot y \cdot (y + 1)(y - 1)$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$y^{3+1}(y + 1)(y - 1) = y^4(y + 1)(y - 1)$

Полученное выражение полностью совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$, преобразуем его левую часть, разложив на множители выражения в скобках.

В первом множителе $(a^2 + 3a)$ вынесем за скобки общий множитель $a$:

$a^2 + 3a = a(a + 3)$

Второй множитель $(a^2 + 3a + 2)$ является квадратным трехчленом. Разложим его на множители, найдя корни уравнения $a^2 + 3a + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $a_1 + a_2 = -3$, а их произведение $a_1 \cdot a_2 = 2$. Отсюда корни равны $-1$ и $-2$.

Тогда разложение квадратного трехчлена имеет вид:

$a^2 + 3a + 2 = (a - (-1))(a - (-2)) = (a + 1)(a + 2)$

Теперь подставим полученные разложения в левую часть тождества:

$(a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = (a(a + 3)) \cdot ((a + 1)(a + 2))$

Переставим множители для соответствия правой части:

$a(a + 1)(a + 2)(a + 3)$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Чтобы доказать тождество $(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = a^4 + a^2b^2 + b^4$, преобразуем его левую часть.

Сгруппируем слагаемые в скобках, чтобы воспользоваться формулой разности квадратов $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$.

$(a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = [(a^2 + b^2) + ab][(a^2 + b^2) - ab]$

Примем $x = a^2 + b^2$ и $y = ab$. Применим формулу:

$(a^2 + b^2)^2 - (ab)^2$

Теперь раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата суммы $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a^2 + b^2)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot b^2 + (b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4$

Второе слагаемое: $(ab)^2 = a^2b^2$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (2a^2b^2 - a^2b^2) + b^4 = a^4 + a^2b^2 + b^4$

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

г)

Чтобы доказать тождество $(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = c^8 + c^4 + 1$, преобразуем левую часть.

Как и в предыдущем пункте, сгруппируем слагаемые для применения формулы разности квадратов.

$(c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = [(c^4 + 1) - c^2][(c^4 + 1) + c^2]$

Здесь $x = c^4 + 1$ и $y = c^2$. Применяем формулу $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$(c^4 + 1)^2 - (c^2)^2$

Раскроем скобки. Используем формулу квадрата суммы для первого слагаемого:

$(c^4 + 1)^2 = (c^4)^2 + 2 \cdot c^4 \cdot 1 + 1^2 = c^8 + 2c^4 + 1$

Второе слагаемое: $(c^2)^2 = c^4$.

Подставим раскрытые выражения обратно:

$(c^8 + 2c^4 + 1) - c^4$

Приведем подобные слагаемые:

$c^8 + (2c^4 - c^4) + 1 = c^8 + c^4 + 1$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.