Номер 818, страница 168 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

818. Проверьте, что равенство n² + (n + 2)² + (n + 9)² = (n − 1)² + (n + 5)² + (n + 7)² + 10 верно при n = 3. Покажите, что это равенство верно при любом n.

Проверьте, что равенство верно при n=3.

Подставим значение $n=3$ в левую и правую части исходного равенства:

$n^2+(n+2)^2+(n+9)^2=(n-1)^2+(n+5)^2+(n+7)^2+10$

Вычислим значение левой части (ЛЧ):

ЛЧ = $3^2+(3+2)^2+(3+9)^2 = 9 + 5^2 + 12^2 = 9 + 25 + 144 = 178$.

Вычислим значение правой части (ПЧ):

ПЧ = $(3-1)^2+(3+5)^2+(3+7)^2+10 = 2^2 + 8^2 + 10^2 + 10 = 4 + 64 + 100 + 10 = 178$.

Поскольку левая и правая части равны ($178 = 178$), равенство является верным при $n=3$.

Ответ: при $n=3$ равенство верно, так как обе его части равны 178.

Покажите, что это равенство верно при любом n.

Чтобы доказать, что равенство верно при любом значении $n$, необходимо выполнить тождественные преобразования обеих частей уравнения и убедиться, что они равны.

Преобразуем левую часть равенства. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

ЛЧ = $n^2+(n^2+2 \cdot n \cdot 2 + 2^2) + (n^2+2 \cdot n \cdot 9 + 9^2) = n^2 + (n^2+4n+4) + (n^2+18n+81)$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

ЛЧ = $(n^2+n^2+n^2) + (4n+18n) + (4+81) = 3n^2+22n+85$.

Далее преобразуем правую часть равенства, используя формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и квадрата суммы:

ПЧ = $(n^2-2 \cdot n \cdot 1 + 1^2) + (n^2+2 \cdot n \cdot 5 + 5^2) + (n^2+2 \cdot n \cdot 7 + 7^2) + 10 = (n^2-2n+1) + (n^2+10n+25) + (n^2+14n+49) + 10$.

Приведем подобные слагаемые:

ПЧ = $(n^2+n^2+n^2) + (-2n+10n+14n) + (1+25+49+10) = 3n^2+22n+85$.

Сравнивая результаты преобразований, видим, что левая и правая части равенства тождественно равны:

$3n^2+22n+85 = 3n^2+22n+85$.

Это доказывает, что исходное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $n$.

Ответ: равенство является тождеством и верно при любом $n$.