Номер 822, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

822. Из выражений (y − х)², (y + х)², (−y + х)², (−х + y)², (−х − y)² выберите те, которые тождественно равны выражению:

a)(х + y)²; б)(х − y)².

а) Выберем выражения, которые тождественно равны выражению $(x+y)^2$. Для этого будем последовательно анализировать каждое из предложенных выражений, используя основные алгебраические свойства.

1. Выражение $(y+x)^2$.
На основании переместительного (коммутативного) закона сложения, $y+x = x+y$.
Следовательно, выражение $(y+x)^2$ тождественно равно $(x+y)^2$.

2. Выражение $(-x-y)^2$.
Вынесем общий множитель $-1$ за скобки внутри выражения: $(-x-y) = -(x+y)$.
Тогда $(-x-y)^2 = (-(x+y))^2$.
Так как квадрат любого выражения равен квадрату противоположного ему выражения (свойство $(-a)^2 = a^2$), получаем, что $(-(x+y))^2 = (x+y)^2$.
Следовательно, выражение $(-x-y)^2$ тождественно равно $(x+y)^2$.

Остальные выражения не равны $(x+y)^2$. Например, $(y-x)^2 = y^2 - 2xy + x^2$, что не равно $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ (кроме случаев, когда $x=0$ или $y=0$).

Ответ: $(y+x)^2, (-x-y)^2$.

б) Выберем выражения, которые тождественно равны выражению $(x-y)^2$.

1. Выражение $(y-x)^2$.
Вынесем общий множитель $-1$ за скобки: $(y-x) = -(x-y)$.
Тогда $(y-x)^2 = (-(x-y))^2$.
Используя свойство $(-a)^2 = a^2$, получаем $(-(x-y))^2 = (x-y)^2$.
Следовательно, выражение $(y-x)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$.

2. Выражение $(-y+x)^2$.
Используя переместительный закон сложения, поменяем слагаемые местами: $-y+x = x-y$.
Следовательно, выражение $(-y+x)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$.

3. Выражение $(-x+y)^2$.
Используя переместительный закон сложения, поменяем слагаемые местами: $-x+y = y-x$.
Таким образом, $(-x+y)^2 = (y-x)^2$.
Как было показано в пункте 1, выражение $(y-x)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$. Значит, и $(-x+y)^2$ тождественно равно $(x-y)^2$.

Ответ: $(y-x)^2, (-y+x)^2, (-x+y)^2$.