Номер 825, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 11. Квадрат суммы и квадрат разности. 32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений - номер 825, страница 169.

Условие.

825. Преобразуйте выражение в многочлен:

а) (−3а + 10b)²;
б) (−6m − n)²;
в) (8х − 0,3y)²;

г) (5а + 115b)²;
д) (−0,2р − 10q)²;
е) (0,8х − 0,1y)².

Решение 1.

а) (−3а + 10b)² = (10b - 3a)² =
= (10b)² - 2 ⋅ 10b ⋅ 3a + (3a)² =
= 100b² - 60ab + 9a²;

б) (−6m − n)² = (-(6m + n))² =
= (6m + n) = (6m)² + 2 ⋅ 6m ⋅ n +
+ n² = 36m² + 12mn + n²;

в) (8х − 0,3y)² = (8x)² - 2 ⋅ 8x ×
× 0,3y + (0,3y)² =
= 64x² - 4,8xy + 0,09y²;

$\mathbf{г}\mathbf{)} {\left(5\mathrm{a}+\frac{1}{15}\mathrm{b}\right)}^2={\left(5\mathrm{a}\right)}^2+2·5\mathrm{a}+$

$+\frac{1}{15}\mathrm{b}+{\left(\frac{1}{15}\mathrm{b}\right)}^2=$

$=25{\mathrm{a}}^2+\frac{2}{3}\mathrm{ab}+\frac{1}{225}{\mathrm{b}}^2;$

д) (−0,2р − 10q)² =
= (-(0,2p + 10q))² = (0,2p + 10q)² =
= (0,2p)² + 2 ⋅ 0,2p ⋅ 10q + (10q)² =
= 0,04p² + 4pq + 100q²;

е) (0,8х − 0,1y)² =
= (0,8x)² - 2 ⋅ 0,8x ⋅ 0,1y + (0,1y)² =
= 0,64x² - 0,16xy - 0,16xy + 0,01y².

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для преобразования выражения $(-3a + 10b)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$. В данном случае $x = -3a$ и $y = 10b$.

$(-3a + 10b)^2 = (-3a)^2 + 2 \cdot (-3a) \cdot (10b) + (10b)^2 = 9a^2 - 60ab + 100b^2$.

В качестве альтернативы можно было поменять слагаемые местами и использовать формулу квадрата разности: $(10b - 3a)^2 = (10b)^2 - 2 \cdot (10b) \cdot (3a) + (3a)^2 = 100b^2 - 60ab + 9a^2$. Результат тот же.

Ответ: $9a^2 - 60ab + 100b^2$.

б) Выражение $(-6m - n)^2$ можно преобразовать, используя свойство, что квадрат числа и ему противоположного равны: $(-A)^2 = A^2$.

$(-6m - n)^2 = (-(6m + n))^2 = (6m + n)^2$.

Далее применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=6m$ и $y=n$:

$(6m+n)^2 = (6m)^2 + 2 \cdot (6m) \cdot n + n^2 = 36m^2 + 12mn + n^2$.

Ответ: $36m^2 + 12mn + n^2$.

в) Для преобразования выражения $(8x - 0,3y)^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=8x$ и $y=0,3y$.

$(8x - 0,3y)^2 = (8x)^2 - 2 \cdot (8x) \cdot (0,3y) + (0,3y)^2 = 64x^2 - 4,8xy + 0,09y^2$.

Ответ: $64x^2 - 4,8xy + 0,09y^2$.

г) Для выражения $(5a + \frac{1}{15}b)^2$ применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=5a$ и $y=\frac{1}{15}b$.

$(5a + \frac{1}{15}b)^2 = (5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot (\frac{1}{15}b) + (\frac{1}{15}b)^2 = 25a^2 + \frac{10}{15}ab + \frac{1}{225}b^2$.

Сократим дробный коэффициент в удвоенном произведении: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.

В результате получаем многочлен: $25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2$.

Ответ: $25a^2 + \frac{2}{3}ab + \frac{1}{225}b^2$.

д) Выражение $(-0,2p - 10q)^2$ преобразуем аналогично пункту б), вынеся $-1$ за скобки и возведя в квадрат:

$(-0,2p - 10q)^2 = (-(0,2p + 10q))^2 = (0,2p + 10q)^2$.

Применяем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x=0,2p$ и $y=10q$:

$(0,2p + 10q)^2 = (0,2p)^2 + 2 \cdot (0,2p) \cdot (10q) + (10q)^2 = 0,04p^2 + 4pq + 100q^2$.

Ответ: $0,04p^2 + 4pq + 100q^2$.

е) Для выражения $(0,8x - 0,1y)^2$ используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$, где $x=0,8x$ и $y=0,1y$.

$(0,8x - 0,1y)^2 = (0,8x)^2 - 2 \cdot (0,8x) \cdot (0,1y) + (0,1y)^2 = 0,64x^2 - 0,16xy + 0,01y^2$.

Ответ: $0,64x^2 - 0,16xy + 0,01y^2$.