Номер 827, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 827, страница 169.

827. Выполните возведение в квадрат:

а) (x² − 5)²; б) (7 − y³)²; в)(2а + b⁴)²; г) (−3р + q³)².

а) Чтобы возвести в квадрат выражение $(x^2 - 5)^2$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = x^2$ и $b = 5$.
Подставим эти значения в формулу:
$(x^2 - 5)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 5^2$
Теперь выполним вычисления для каждого члена выражения:
$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$
$2 \cdot x^2 \cdot 5 = 10x^2$
$5^2 = 25$
Соединив все части, получаем итоговый многочлен:
$x^4 - 10x^2 + 25$
Ответ: $x^4 - 10x^2 + 25$

б) Для выражения $(7 - y^3)^2$ мы также используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a = 7$ и $b = y^3$.
Подставляем в формулу:
$(7 - y^3)^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot y^3 + (y^3)^2$
Вычисляем каждый член:
$7^2 = 49$
$2 \cdot 7 \cdot y^3 = 14y^3$
$(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$
Таким образом, результат возведения в квадрат:
$49 - 14y^3 + y^6$
Ответ: $49 - 14y^3 + y^6$

в) Для возведения в квадрат выражения $(2a + b^4)^2$ применяется формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В этом примере $a = 2a$ и $b = b^4$.
Подставим значения в формулу:
$(2a + b^4)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot (b^4) + (b^4)^2$
Выполним необходимые вычисления:
$(2a)^2 = 2^2 \cdot a^2 = 4a^2$
$2 \cdot 2a \cdot b^4 = 4ab^4$
$(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$
Итоговый многочлен:
$4a^2 + 4ab^4 + b^8$
Ответ: $4a^2 + 4ab^4 + b^8$

г) Выражение $(-3p + q^3)^2$ можно возвести в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Также можно поменять слагаемые местами $(q^3 - 3p)^2$ и применить формулу квадрата разности. Воспользуемся первым способом.
Пусть $a = -3p$ и $b = q^3$.
Подставляем в формулу квадрата суммы:
$(-3p + q^3)^2 = (-3p)^2 + 2 \cdot (-3p) \cdot q^3 + (q^3)^2$
Вычисляем каждый член выражения:
$(-3p)^2 = (-3)^2 \cdot p^2 = 9p^2$
$2 \cdot (-3p) \cdot q^3 = -6pq^3$
$(q^3)^2 = q^{3 \cdot 2} = q^6$
Собираем все вместе:
$9p^2 - 6pq^3 + q^6$
Ответ: $9p^2 - 6pq^3 + q^6$