Номер 831, страница 169 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений. § 11. Квадрат суммы и квадрат разности. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 831, страница 169.

831. Упростите выражение:

а) (12а − 1)² − 1;
б) (2а + 6b)² − 24аb;

в) 121 − (11 − 9х)²;
г) а²b² − (аb − 7)²;

д) b² + 49 − (b − 7)²;
е) a⁴ + 81 − (а² + 9)².

а) Чтобы упростить выражение $(12a - 1)^2 - 1$, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(12a - 1)^2 = (12a)^2 - 2 \cdot 12a \cdot 1 + 1^2 = 144a^2 - 24a + 1$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(144a^2 - 24a + 1) - 1 = 144a^2 - 24a + 1 - 1 = 144a^2 - 24a$.

Ответ: $144a^2 - 24a$.

б) Для упрощения выражения $(2a + 6b)^2 - 24ab$ раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(2a + 6b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 6b + (6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

Подставим это в исходное выражение:

$(4a^2 + 24ab + 36b^2) - 24ab$.

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 + (24ab - 24ab) + 36b^2 = 4a^2 + 36b^2$.

Ответ: $4a^2 + 36b^2$.

в) Рассмотрим выражение $121 - (11 - 9x)^2$. Упростим его, раскрыв скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(11 - 9x)^2 = 11^2 - 2 \cdot 11 \cdot 9x + (9x)^2 = 121 - 198x + 81x^2$.

Подставим в исходное выражение:

$121 - (121 - 198x + 81x^2)$.

Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные:

$121 - 121 + 198x - 81x^2 = 198x - 81x^2$.

Ответ: $198x - 81x^2$.

г) Упростим выражение $a^2b^2 - (ab - 7)^2$. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(ab - 7)^2 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 7 + 7^2 = a^2b^2 - 14ab + 49$.

Подставим полученное выражение в исходное:

$a^2b^2 - (a^2b^2 - 14ab + 49)$.

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$a^2b^2 - a^2b^2 + 14ab - 49 = 14ab - 49$.

Ответ: $14ab - 49$.

д) Для упрощения выражения $b^2 + 49 - (b - 7)^2$ раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(b - 7)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 = b^2 - 14b + 49$.

Подставим это в исходное выражение:

$b^2 + 49 - (b^2 - 14b + 49)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$b^2 + 49 - b^2 + 14b - 49 = (b^2 - b^2) + 14b + (49 - 49) = 14b$.

Ответ: $14b$.

е) Упростим выражение $a^4 - 81 - (a^2 + 9)^2$. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a^2 + 9)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 9 + 9^2 = a^4 + 18a^2 + 81$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$a^4 - 81 - (a^4 + 18a^2 + 81)$.

Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них:

$a^4 - 81 - a^4 - 18a^2 - 81$.

Приведем подобные слагаемые:

$(a^4 - a^4) - 18a^2 - (81 + 81) = -18a^2 - 162$.

Ответ: $-18a^2 - 162$.