Номер 838, страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

838. Преобразуйте в многочлен выражение:

а)

Чтобы преобразовать выражение $5(3a + 7)^2$ в многочлен, сначала необходимо раскрыть скобки, возведя двучлен $(3a + 7)$ в квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 3a$ и $y = 7$:
$(3a + 7)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 7 + 7^2 = 9a^2 + 42a + 49$.
Теперь умножим полученный многочлен на 5:
$5(9a^2 + 42a + 49) = 5 \cdot 9a^2 + 5 \cdot 42a + 5 \cdot 49 = 45a^2 + 210a + 245$.
Ответ: $45a^2 + 210a + 245$.

б)

Для преобразования выражения $-6(4 - b)^2$ в многочлен, раскроем скобки с помощью формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = 4$ и $y = b$:
$(4 - b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot b + b^2 = 16 - 8b + b^2$.
Теперь умножим полученный результат на -6:
$-6(16 - 8b + b^2) = -6 \cdot 16 - 6 \cdot (-8b) - 6 \cdot b^2 = -96 + 48b - 6b^2$.
Для стандартного вида запишем члены многочлена в порядке убывания степеней переменной:
$-6b^2 + 48b - 96$.
Ответ: $-6b^2 + 48b - 96$.

в)

Чтобы преобразовать выражение $-3(2 - x)^2 - 10x$, начнем с раскрытия скобок $(2 - x)^2$ по формуле квадрата разности.
$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$-3(4 - 4x + x^2) - 10x$.
Теперь раскроем скобки, умножив многочлен на -3:
$-3 \cdot 4 - 3 \cdot (-4x) - 3 \cdot x^2 - 10x = -12 + 12x - 3x^2 - 10x$.
Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):
$-3x^2 + (12x - 10x) - 12 = -3x^2 + 2x - 12$.
Ответ: $-3x^2 + 2x - 12$.

г)

Для преобразования выражения $12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8$ сначала раскроем скобки $(1 - 2a)^2$ по формуле квадрата разности.
$(1 - 2a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2a + (2a)^2 = 1 - 4a + 4a^2$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$12a^2 - 4(1 - 4a + 4a^2) + 8$.
Раскроем скобки, умножив многочлен на -4:
$12a^2 - 4 \cdot 1 - 4 \cdot (-4a) - 4 \cdot 4a^2 + 8 = 12a^2 - 4 + 16a - 16a^2 + 8$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
Сгруппируем члены с $a^2$: $12a^2 - 16a^2 = -4a^2$.
Сгруппируем свободные члены: $-4 + 8 = 4$.
Член с $a$ остается без изменений: $16a$.
Собираем все вместе в стандартном виде:
$-4a^2 + 16a + 4$.
Ответ: $-4a^2 + 16a + 4$.