Страница 170 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

832. Представьте выражение в виде многочлена:

а) $18a + (a - 9)^2$

Для того чтобы представить данное выражение в виде многочлена, необходимо сначала раскрыть скобки. Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Применим эту формулу к выражению $(a - 9)^2$:

$(a - 9)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 9 + 9^2 = a^2 - 18a + 81$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$18a + (a^2 - 18a + 81)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$18a + a^2 - 18a + 81 = a^2 + (18a - 18a) + 81 = a^2 + 81$.

Ответ: $a^2 + 81$.

б) $(5x - 1)^2 - 25x^2$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Применим формулу к выражению $(5x - 1)^2$:

$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$.

Подставим полученный многочлен в исходное выражение:

$(25x^2 - 10x + 1) - 25x^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$25x^2 - 10x + 1 - 25x^2 = (25x^2 - 25x^2) - 10x + 1 = -10x + 1$.

Ответ: $-10x + 1$.

в) $4x^2 - (2x - 3)^2$

Для упрощения этого выражения раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ к выражению $(2x - 3)^2$.

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

Теперь подставим результат в исходное выражение:

$4x^2 - (4x^2 - 12x + 9)$.

Так как перед скобкой стоит знак "минус", при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:

$4x^2 - 4x^2 + 12x - 9$.

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + 12x - 9 = 12x - 9$.

Ответ: $12x - 9$.

г) $(a + 2b)^2 - 4b^2$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Применим эту формулу к выражению $(a + 2b)^2$:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Подставим полученный многочлен в исходное выражение:

$(a^2 + 4ab + 4b^2) - 4b^2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 4ab + 4b^2 - 4b^2 = a^2 + 4ab + (4b^2 - 4b^2) = a^2 + 4ab$.

Ответ: $a^2 + 4ab$.

833. Упростите выражение:

а) $(x - 3)^2 + x(x + 9)$

Для упрощения данного выражения необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Первое слагаемое $(x-3)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Второе слагаемое $x(x+9)$ раскроем, используя распределительный закон умножения $a(b+c) = ab + ac$.

1. Раскрываем квадрат разности:
$(x - 3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$.

2. Раскрываем скобки во втором слагаемом:
$x(x + 9) = x \cdot x + x \cdot 9 = x^2 + 9x$.

3. Подставляем полученные выражения в исходное и приводим подобные слагаемые:
$(x^2 - 6x + 9) + (x^2 + 9x) = x^2 - 6x + 9 + x^2 + 9x = (x^2 + x^2) + (-6x + 9x) + 9 = 2x^2 + 3x + 9$.

Ответ: $2x^2 + 3x + 9$.

б) $(2a + 5)^2 - 5(4a + 5)$

Упростим выражение, раскрыв скобки. Первое слагаемое $(2a+5)^2$ — это квадрат суммы, который раскрывается по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Второе слагаемое $-5(4a+5)$ раскроем по распределительному закону.

1. Раскрываем квадрат суммы:
$(2a + 5)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 + 20a + 25$.

2. Раскрываем скобки во втором слагаемом:
$-5(4a + 5) = -5 \cdot 4a - 5 \cdot 5 = -20a - 25$.

3. Складываем полученные выражения и приводим подобные слагаемые:
$(4a^2 + 20a + 25) + (-20a - 25) = 4a^2 + 20a + 25 - 20a - 25 = 4a^2 + (20a - 20a) + (25 - 25) = 4a^2$.

Ответ: $4a^2$.

в) $9b(b - 1) - (3b + 2)^2$

Для упрощения раскроем скобки в обоих членах выражения. Первый член $9b(b-1)$ упростим с помощью распределительного закона. Второй член $(3b+2)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы, учитывая знак минус перед скобкой.

1. Раскрываем скобки в первом члене:
$9b(b - 1) = 9b \cdot b - 9b \cdot 1 = 9b^2 - 9b$.

2. Раскрываем квадрат суммы:
$(3b + 2)^2 = (3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot 2 + 2^2 = 9b^2 + 12b + 4$.

3. Подставляем результаты в исходное выражение и приводим подобные слагаемые. Важно помнить, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:
$(9b^2 - 9b) - (9b^2 + 12b + 4) = 9b^2 - 9b - 9b^2 - 12b - 4 = (9b^2 - 9b^2) + (-9b - 12b) - 4 = -21b - 4$.

Ответ: $-21b - 4$.

г) $(b - 4)^2 + (b - 1)(2 - b)$

Упростим выражение, раскрыв обе скобки. Первую — по формуле квадрата разности, вторую — путем перемножения двучленов.

1. Раскрываем квадрат разности:
$(b - 4)^2 = b^2 - 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 = b^2 - 8b + 16$.

2. Перемножаем двучлены $(b - 1)$ и $(2 - b)$:
$(b - 1)(2 - b) = b \cdot 2 + b \cdot (-b) - 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-b) = 2b - b^2 - 2 + b = -b^2 + 3b - 2$.

3. Складываем полученные многочлены и приводим подобные слагаемые:
$(b^2 - 8b + 16) + (-b^2 + 3b - 2) = b^2 - 8b + 16 - b^2 + 3b - 2 = (b^2 - b^2) + (-8b + 3b) + (16 - 2) = -5b + 14$.

Ответ: $14 - 5b$.

д) $(a + 3)(5 - a) - (a - 1)^2$

Для упрощения этого выражения сначала перемножим двучлены, а затем раскроем квадрат разности, учитывая знак минус перед ним.

1. Перемножаем двучлены $(a + 3)$ и $(5 - a)$:
$(a + 3)(5 - a) = a \cdot 5 + a \cdot (-a) + 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-a) = 5a - a^2 + 15 - 3a = -a^2 + 2a + 15$.

2. Раскрываем квадрат разности:
$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.

3. Вычитаем из первого результата второй и приводим подобные слагаемые:
$(-a^2 + 2a + 15) - (a^2 - 2a + 1) = -a^2 + 2a + 15 - a^2 + 2a - 1 = (-a^2 - a^2) + (2a + 2a) + (15 - 1) = -2a^2 + 4a + 14$.

Ответ: $-2a^2 + 4a + 14$.

е) $(5 + 2y)(y - 3) - (5 - 2y)^2$

Упростим выражение, последовательно раскрыв скобки: сначала произведение двучленов, затем квадрат разности.

1. Перемножаем двучлены $(5 + 2y)$ и $(y - 3)$:
$(5 + 2y)(y - 3) = 5 \cdot y + 5 \cdot (-3) + 2y \cdot y + 2y \cdot (-3) = 5y - 15 + 2y^2 - 6y = 2y^2 - y - 15$.

2. Раскрываем квадрат разности $(5 - 2y)^2$ по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ :
$(5 - 2y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2y + (2y)^2 = 25 - 20y + 4y^2$.

3. Подставляем полученные выражения в исходное и приводим подобные слагаемые:
$(2y^2 - y - 15) - (25 - 20y + 4y^2) = 2y^2 - y - 15 - 25 + 20y - 4y^2 = (2y^2 - 4y^2) + (-y + 20y) + (-15 - 25) = -2y^2 + 19y - 40$.

Ответ: $-2y^2 + 19y - 40$.

834. Упростите выражение и найдите его значение:
а) (х − 10)² − х(х + 80) при х = 0,97;
б) (2х + 9)² − х(4х + 31) при х = −16,2;
в) (2х + 0,5)² − (2х − 0,5)² при х = −3,5;
г) (0,1х − 8)² + (0,1х + 8)² при х = −10.

а) Чтобы упростить выражение $(x - 10)^2 - x(x + 80)$, сначала раскроем скобки. Первую скобку раскрываем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Вторую часть выражения раскрываем, умножая $-x$ на каждый член в скобке.
$(x - 10)^2 - x(x + 80) = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2) - (x \cdot x + x \cdot 80) = (x^2 - 20x + 100) - (x^2 + 80x)$.
Теперь раскрываем вторые скобки, меняя знаки на противоположные:
$x^2 - 20x + 100 - x^2 - 80x$.
Приводим подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-20x - 80x) + 100 = 0 - 100x + 100 = 100 - 100x$.
Теперь найдем значение этого выражения при $x = 0,97$.
$100 - 100 \cdot 0,97 = 100 - 97 = 3$.
Ответ: 3

б) Упростим выражение $(2x + 9)^2 - x(4x + 31)$. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(2x + 9)^2 - x(4x + 31) = ((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 9 + 9^2) - (x \cdot 4x + x \cdot 31) = (4x^2 + 36x + 81) - (4x^2 + 31x)$.
Раскроем вторые скобки:
$4x^2 + 36x + 81 - 4x^2 - 31x$.
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (36x - 31x) + 81 = 0 + 5x + 81 = 5x + 81$.
Подставим значение $x = -16,2$ в упрощенное выражение:
$5 \cdot (-16,2) + 81 = -81 + 81 = 0$.
Ответ: 0

в) Упростим выражение $(2x + 0,5)^2 - (2x - 0,5)^2$. Здесь удобнее всего использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В нашем случае $a = 2x + 0,5$ и $b = 2x - 0,5$.
$((2x + 0,5) - (2x - 0,5)) \cdot ((2x + 0,5) + (2x - 0,5))$.
Упростим каждую скобку:
Первая скобка: $(2x + 0,5 - 2x + 0,5) = 1$.
Вторая скобка: $(2x + 0,5 + 2x - 0,5) = 4x$.
Перемножим результаты: $1 \cdot 4x = 4x$.
Теперь найдем значение выражения при $x = -3,5$.
$4 \cdot (-3,5) = -14$.
Ответ: -14

г) Упростим выражение $(0,1x - 8)^2 + (0,1x + 8)^2$. Раскроем каждую скобку по формулам квадрата разности и квадрата суммы.
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(0,1x - 8)^2 = (0,1x)^2 - 2 \cdot 0,1x \cdot 8 + 8^2 = 0,01x^2 - 1,6x + 64$.
$(0,1x + 8)^2 = (0,1x)^2 + 2 \cdot 0,1x \cdot 8 + 8^2 = 0,01x^2 + 1,6x + 64$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(0,01x^2 - 1,6x + 64) + (0,01x^2 + 1,6x + 64)$.
Приведем подобные слагаемые:
$(0,01x^2 + 0,01x^2) + (-1,6x + 1,6x) + (64 + 64) = 0,02x^2 + 0 + 128 = 0,02x^2 + 128$.
Подставим значение $x = -10$ в упрощенное выражение:
$0,02 \cdot (-10)^2 + 128 = 0,02 \cdot 100 + 128 = 2 + 128 = 130$.
Ответ: 130

835. Решите уравнение:

а) $(x - 6)^2 - x(x + 8) = 2$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, а второе слагаемое раскроем, умножив $-x$ на каждый член в скобках.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - (x \cdot x + x \cdot 8) = 2$

$(x^2 - 12x + 36) - (x^2 + 8x) = 2$

Теперь раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$x^2 - 12x + 36 - x^2 - 8x = 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (-12x - 8x) + 36 = 2$

$-20x + 36 = 2$

Перенесем 36 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-20x = 2 - 36$

$-20x = -34$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на -20:

$x = \frac{-34}{-20} = \frac{34}{20} = \frac{17}{10} = 1.7$

Ответ: $1.7$

б) $9x(x + 6) - (3x + 1)^2 = 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для второго слагаемого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

$(9x \cdot x + 9x \cdot 6) - ((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2) = 1$

$(9x^2 + 54x) - (9x^2 + 6x + 1) = 1$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$9x^2 + 54x - 9x^2 - 6x - 1 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (54x - 6x) - 1 = 1$

$48x - 1 = 1$

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$48x = 1 + 1$

$48x = 2$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 48:

$x = \frac{2}{48} = \frac{1}{24}$

Ответ: $\frac{1}{24}$

в) $y(y - 1) - (y - 5)^2 = 2$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(y \cdot y - y \cdot 1) - (y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2) = 2$

$(y^2 - y) - (y^2 - 10y + 25) = 2$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные:

$y^2 - y - y^2 + 10y - 25 = 2$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (-y + 10y) - 25 = 2$

$9y - 25 = 2$

Перенесем -25 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$9y = 2 + 25$

$9y = 27$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на 9:

$y = \frac{27}{9} = 3$

Ответ: $3$

г) $16y(2 - y) + (4y - 5)^2 = 0$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для второго слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$(16y \cdot 2 - 16y \cdot y) + ((4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 5 + 5^2) = 0$

$(32y - 16y^2) + (16y^2 - 40y + 25) = 0$

Раскроем вторые скобки (в данном случае знаки не меняются, так как перед скобкой стоит плюс):

$32y - 16y^2 + 16y^2 - 40y + 25 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(-16y^2 + 16y^2) + (32y - 40y) + 25 = 0$

$-8y + 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$-8y = -25$

Найдем $y$, разделив обе части уравнения на -8:

$y = \frac{-25}{-8} = \frac{25}{8}$

Ответ: $\frac{25}{8}$

836. Найдите корень уравнения:

а) $(x-5)^2 - x^2 = 3$
Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) - x^2 = 3$
$x^2 - 10x + 25 - x^2 = 3$
Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются:
$-10x + 25 = 3$
Перенесем число 25 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$-10x = 3 - 25$
$-10x = -22$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -10:
$x = \frac{-22}{-10}$
$x = 2.2$
Ответ: $2.2$.

б) $(2y+1)^2 - 4y^2 = 5$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$((2y)^2 + 2 \cdot 2y \cdot 1 + 1^2) - 4y^2 = 5$
$4y^2 + 4y + 1 - 4y^2 = 5$
Приведем подобные слагаемые. Члены $4y^2$ и $-4y^2$ взаимно уничтожаются:
$4y + 1 = 5$
Перенесем число 1 в правую часть уравнения со знаком минус:
$4y = 5 - 1$
$4y = 4$
Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $y$:
$y = \frac{4}{4}$
$y = 1$
Ответ: $1$.

в) $9x^2 - 1 - (3x-2)^2 = 0$
Раскроем скобки с выражением в квадрате по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9x^2 - 1 - ((3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2) = 0$
$9x^2 - 1 - (9x^2 - 12x + 4) = 0$
Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус. Все знаки внутри скобок изменятся на противоположные:
$9x^2 - 1 - 9x^2 + 12x - 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые. Члены $9x^2$ и $-9x^2$ сокращаются:
$12x - 1 - 4 = 0$
$12x - 5 = 0$
Перенесем -5 в правую часть уравнения:
$12x = 5$
Найдем $x$, разделив обе части на 12:
$x = \frac{5}{12}$
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) $x + (5x+2)^2 = 25(1+x^2)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу квадрата суммы, а в правой — распределительный закон умножения:
$x + ((5x)^2 + 2 \cdot 5x \cdot 2 + 2^2) = 25 \cdot 1 + 25 \cdot x^2$
$x + 25x^2 + 20x + 4 = 25 + 25x^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые в левой части:
$25x^2 + (x + 20x) + 4 = 25 + 25x^2$
$25x^2 + 21x + 4 = 25 + 25x^2$
Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. Заметим, что $25x^2$ есть в обеих частях уравнения, поэтому эти члены можно сократить:
$21x + 4 = 25$
$21x = 25 - 4$
$21x = 21$
Разделим обе части на 21:
$x = \frac{21}{21}$
$x = 1$
Ответ: $1$.

837. Представьте в виде многочлена выражение:

а) Чтобы представить выражение $7(4a - 1)^2$ в виде многочлена, сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$7(4a - 1)^2 = 7((4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2) = 7(16a^2 - 8a + 1)$.
Теперь умножим каждый член многочлена в скобках на 7:
$7 \cdot 16a^2 - 7 \cdot 8a + 7 \cdot 1 = 112a^2 - 56a + 7$.
Ответ: $112a^2 - 56a + 7$.

б) Раскроем скобки в выражении $-3(5y - x)^2$ по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$-3(5y - x)^2 = -3((5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot x + x^2) = -3(25y^2 - 10xy + x^2)$.
Умножим многочлен в скобках на -3:
$-3 \cdot 25y^2 - 3 \cdot (-10xy) - 3 \cdot x^2 = -75y^2 + 30xy - 3x^2$.
Запишем в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной $x$):
$-3x^2 + 30xy - 75y^2$.
Ответ: $-3x^2 + 30xy - 75y^2$.

в) Для выражения $-10(\frac{1}{2}b + 2)^2$ используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$-10(\frac{1}{2}b + 2)^2 = -10((\frac{1}{2}b)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}b \cdot 2 + 2^2) = -10(\frac{1}{4}b^2 + 2b + 4)$.
Умножим каждый член на -10:
$-10 \cdot \frac{1}{4}b^2 - 10 \cdot 2b - 10 \cdot 4 = -\frac{10}{4}b^2 - 20b - 40 = -\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$.
Это можно записать и с десятичной дробью: $-2.5b^2 - 20b - 40$.
Ответ: $-\frac{5}{2}b^2 - 20b - 40$.

г) Упростим выражение $3(a - 1)^2 + 8a$. Сначала раскроем квадрат разности:
$(a - 1)^2 = a^2 - 2a + 1$.
Теперь подставим это в исходное выражение и раскроем скобки:
$3(a^2 - 2a + 1) + 8a = 3a^2 - 6a + 3 + 8a$.
Приведем подобные слагаемые:
$3a^2 + (-6a + 8a) + 3 = 3a^2 + 2a + 3$.
Ответ: $3a^2 + 2a + 3$.

д) Представим в виде многочлена $9c^2 - 4 + 6(c - 2)^2$. Начнем с раскрытия скобок:
$6(c - 2)^2 = 6(c^2 - 2 \cdot c \cdot 2 + 2^2) = 6(c^2 - 4c + 4) = 6c^2 - 24c + 24$.
Теперь подставим полученное выражение в исходное:
$9c^2 - 4 + 6c^2 - 24c + 24$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(9c^2 + 6c^2) - 24c + (-4 + 24) = 15c^2 - 24c + 20$.
Ответ: $15c^2 - 24c + 20$.

е) Упростим выражение $10ab - 4(2a - b)^2 + 6b^2$. Раскроем квадрат разности:
$(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$.
Подставим в исходное выражение и раскроем скобки, умножая на -4:
$10ab - 4(4a^2 - 4ab + b^2) + 6b^2 = 10ab - 16a^2 + 16ab - 4b^2 + 6b^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$-16a^2 + (10ab + 16ab) + (-4b^2 + 6b^2) = -16a^2 + 26ab + 2b^2$.
Ответ: $-16a^2 + 26ab + 2b^2$.

838. Преобразуйте в многочлен выражение:

а)

Чтобы преобразовать выражение $5(3a + 7)^2$ в многочлен, сначала необходимо раскрыть скобки, возведя двучлен $(3a + 7)$ в квадрат. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = 3a$ и $y = 7$:
$(3a + 7)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 7 + 7^2 = 9a^2 + 42a + 49$.
Теперь умножим полученный многочлен на 5:
$5(9a^2 + 42a + 49) = 5 \cdot 9a^2 + 5 \cdot 42a + 5 \cdot 49 = 45a^2 + 210a + 245$.
Ответ: $45a^2 + 210a + 245$.

б)

Для преобразования выражения $-6(4 - b)^2$ в многочлен, раскроем скобки с помощью формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = 4$ и $y = b$:
$(4 - b)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot b + b^2 = 16 - 8b + b^2$.
Теперь умножим полученный результат на -6:
$-6(16 - 8b + b^2) = -6 \cdot 16 - 6 \cdot (-8b) - 6 \cdot b^2 = -96 + 48b - 6b^2$.
Для стандартного вида запишем члены многочлена в порядке убывания степеней переменной:
$-6b^2 + 48b - 96$.
Ответ: $-6b^2 + 48b - 96$.

в)

Чтобы преобразовать выражение $-3(2 - x)^2 - 10x$, начнем с раскрытия скобок $(2 - x)^2$ по формуле квадрата разности.
$(2 - x)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 - 4x + x^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$-3(4 - 4x + x^2) - 10x$.
Теперь раскроем скобки, умножив многочлен на -3:
$-3 \cdot 4 - 3 \cdot (-4x) - 3 \cdot x^2 - 10x = -12 + 12x - 3x^2 - 10x$.
Приведем подобные слагаемые (члены с переменной $x$):
$-3x^2 + (12x - 10x) - 12 = -3x^2 + 2x - 12$.
Ответ: $-3x^2 + 2x - 12$.

г)

Для преобразования выражения $12a^2 - 4(1 - 2a)^2 + 8$ сначала раскроем скобки $(1 - 2a)^2$ по формуле квадрата разности.
$(1 - 2a)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2a + (2a)^2 = 1 - 4a + 4a^2$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$12a^2 - 4(1 - 4a + 4a^2) + 8$.
Раскроем скобки, умножив многочлен на -4:
$12a^2 - 4 \cdot 1 - 4 \cdot (-4a) - 4 \cdot 4a^2 + 8 = 12a^2 - 4 + 16a - 16a^2 + 8$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
Сгруппируем члены с $a^2$: $12a^2 - 16a^2 = -4a^2$.
Сгруппируем свободные члены: $-4 + 8 = 4$.
Член с $a$ остается без изменений: $16a$.
Собираем все вместе в стандартном виде:
$-4a^2 + 16a + 4$.
Ответ: $-4a^2 + 16a + 4$.

839. Представьте выражение в виде многочлена:

а) $a(a + 9b)^2$

Для преобразования выражения в многочлен, в первую очередь применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ к выражению в скобках.

1. Раскроем квадрат суммы:

$(a + 9b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (9b) + (9b)^2 = a^2 + 18ab + 81b^2$.

2. Теперь умножим каждый член полученного многочлена на $a$:

$a(a^2 + 18ab + 81b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 18ab + a \cdot 81b^2 = a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.

Ответ: $a^3 + 18a^2b + 81ab^2$.

б) $6x(x^2 + 5x)^2$

Сначала возведем в квадрат выражение в скобках, используя формулу квадрата суммы.

1. Раскроем квадрат суммы:

$(x^2 + 5x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5x + (5x)^2 = x^4 + 10x^3 + 25x^2$.

2. Умножим полученный многочлен на $6x$:

$6x(x^4 + 10x^3 + 25x^2) = 6x \cdot x^4 + 6x \cdot 10x^3 + 6x \cdot 25x^2 = 6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.

Ответ: $6x^5 + 60x^4 + 150x^3$.

в) $(a + 2)(a - 1)^2$

Сначала раскроем скобку с квадратом, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

1. Раскроем квадрат разности:

$(a - 1)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.

2. Теперь умножим многочлен $(a + 2)$ на полученный многочлен $(a^2 - 2a + 1)$:

$(a + 2)(a^2 - 2a + 1) = a \cdot (a^2 - 2a + 1) + 2 \cdot (a^2 - 2a + 1) = (a^3 - 2a^2 + a) + (2a^2 - 4a + 2)$.

3. Приведем подобные слагаемые:

$a^3 - 2a^2 + a + 2a^2 - 4a + 2 = a^3 + (-2a^2 + 2a^2) + (a - 4a) + 2 = a^3 - 3a + 2$.

Ответ: $a^3 - 3a + 2$.

г) $(x - 4)(x + 2)^2$

Сначала раскроем скобку с квадратом, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

1. Раскроем квадрат суммы:

$(x + 2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.

2. Теперь умножим многочлен $(x - 4)$ на полученный многочлен $(x^2 + 4x + 4)$:

$(x - 4)(x^2 + 4x + 4) = x \cdot (x^2 + 4x + 4) - 4 \cdot (x^2 + 4x + 4) = (x^3 + 4x^2 + 4x) - (4x^2 + 16x + 16)$.

3. Раскроем вторые скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 4x^2 + 4x - 4x^2 - 16x - 16 = x^3 + (4x^2 - 4x^2) + (4x - 16x) - 16 = x^3 - 12x - 16$.

Ответ: $x^3 - 12x - 16$.

840. Докажите тождество:
а) (а + b)² + (а − b)² = 2(а² + b²);
б) (а + b)² − (а − b)² = 4аb;
в) а² + b² = (а + b)² − 2аb;
г) (а + b)² − 2b(а + b) = а² − b².

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Подставим раскрытые выражения в левую часть равенства:

$(a+b)^2 + (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + a^2) + (b^2 + b^2) + (2ab - 2ab) = 2a^2 + 2b^2$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(a^2 + b^2)$

В результате преобразований левая часть стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

б) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем левую часть тождества, используя те же формулы.

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки. Важно помнить, что минус перед второй скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 4ab$

Левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

в) Для доказательства этого тождества преобразуем его правую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a+b)^2 - 2ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 2ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + b^2 + (2ab - 2ab) = a^2 + b^2$

Правая часть тождества стала равна левой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

г) Преобразуем левую часть тождества. Для этого вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки.

$(a+b)^2 - 2b(a+b) = (a+b) \cdot ((a+b) - 2b)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a+b)(a+b-2b) = (a+b)(a-b)$

Далее воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

Левая часть тождества стала равна правой. Тождество доказано.

Ответ: доказано.

841. Докажите тождество Диофанта (III в.):
(а² + b²)(c² + d²) = (ас + bd)² + (ad − bc)².

Для доказательства тождества Диофанта необходимо показать, что его левая и правая части равны. Для этого мы преобразуем обе части, раскрыв скобки, и сравним полученные выражения.

1. Преобразование левой части тождества.
Раскроем скобки в произведении двух сумм:
$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2 \cdot c^2 + a^2 \cdot d^2 + b^2 \cdot c^2 + b^2 \cdot d^2 = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.

2. Преобразование правой части тождества.
Раскроем каждую скобку в правой части, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрат разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Первый член: $ (ac + bd)^2 = (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 = a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 $.
Второй член: $ (ad - bc)^2 = (ad)^2 - 2(ad)(bc) + (bc)^2 = a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2 $.
Теперь сложим полученные выражения:
$ (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) $.
Приведем подобные слагаемые. Члены $2abcd$ и $-2abcd$ взаимно уничтожаются:
$ a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2 $.
Сгруппируем слагаемые для удобства сравнения с левой частью:
$ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.

3. Сравнение результатов.
Выражение, полученное из левой части: $ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.
Выражение, полученное из правой части: $ a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 $.
Так как в результате преобразований левая и правая части тождества оказались равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$ доказано, поскольку обе его части равны выражению $a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$.