Страница 175 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

870. Выполните умножение многочленов:

а) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений. Для его решения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В данном случае $a=x$ и $b=y$.

Подставляем значения в формулу:

$(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

б) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. В данном случае $a=p$ и $b=q$.

Подставляем значения в формулу:

$(p+q)(p-q) = p^2 - q^2$.

Ответ: $p^2 - q^2$.

в) Это произведение разности и суммы. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=p$ и $b=5$.

$(p-5)(p+5) = p^2 - 5^2 = p^2 - 25$.

Ответ: $p^2 - 25$.

г) Это произведение суммы и разности. Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=x$ и $b=3$.

$(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.

Ответ: $x^2 - 9$.

д) Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=2x$ и $b=1$.

$(2x-1)(2x+1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.

Ответ: $4x^2 - 1$.

е) Чтобы использовать формулу разности квадратов, преобразуем выражение, поменяв местами слагаемые в первом множителе: $(7+3y)(3y-7) = (3y+7)(3y-7)$.

Теперь применим формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=3y$ и $b=7$.

$(3y+7)(3y-7) = (3y)^2 - 7^2 = 9y^2 - 49$.

Ответ: $9y^2 - 49$.

ж) Преобразуем второй множитель, поменяв слагаемые местами: $(3m+n) = (n+3m)$. Выражение принимает вид $(n-3m)(n+3m)$.

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=n$ и $b=3m$.

$(n-3m)(n+3m) = n^2 - (3m)^2 = n^2 - 9m^2$.

Ответ: $n^2 - 9m^2$.

з) Преобразуем второй множитель, поменяв слагаемые местами: $(3b+2a) = (2a+3b)$. Выражение принимает вид $(2a-3b)(2a+3b)$.

Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=2a$ и $b=3b$.

$(2a-3b)(2a+3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$.

Ответ: $4a^2 - 9b^2$.

и) Преобразуем выражение, поменяв слагаемые местами в первом множителе: $(8c+9d)(9d-8c) = (9d+8c)(9d-8c)$.

Применяем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, где $a=9d$ и $b=8c$.

$(9d+8c)(9d-8c) = (9d)^2 - (8c)^2 = 81d^2 - 64c^2$.

Ответ: $81d^2 - 64c^2$.

871. Выполните умножение:
а) (у − 4)(у + 4);
б) (р − 7)(7 + р);
в) (4 + 5у)(5у − 4);
г) (7х − 2)(7х + 2);
д) (8b + 5а)(5а − 8b);
е) (10х − 6с)(10х + 6с).

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

а) В выражении $(y - 4)(y + 4)$ имеем $a = y$ и $b = 4$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(y - 4)(y + 4) = y^2 - 4^2 = y^2 - 16$.

Ответ: $y^2 - 16$.

б) В выражении $(p - 7)(7 + p)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(p - 7)(p + 7)$.

Теперь видно, что $a = p$ и $b = 7$.

Применяем формулу:

$(p - 7)(p + 7) = p^2 - 7^2 = p^2 - 49$.

Ответ: $p^2 - 49$.

в) В выражении $(4 + 5y)(5y - 4)$ переставим слагаемые в первой скобке: $(5y + 4)(5y - 4)$.

Здесь $a = 5y$ и $b = 4$.

Применяем формулу разности квадратов:

$(5y + 4)(5y - 4) = (5y)^2 - 4^2 = 25y^2 - 16$.

Ответ: $25y^2 - 16$.

г) В выражении $(7x - 2)(7x + 2)$ имеем $a = 7x$ и $b = 2$.

Применяя формулу, получаем:

$(7x - 2)(7x + 2) = (7x)^2 - 2^2 = 49x^2 - 4$.

Ответ: $49x^2 - 4$.

д) В выражении $(8b + 5a)(5a - 8b)$ переставим слагаемые в первой скобке: $(5a + 8b)(5a - 8b)$.

В данном случае $a = 5a$ и $b = 8b$.

Используем формулу разности квадратов:

$(5a + 8b)(5a - 8b) = (5a)^2 - (8b)^2 = 25a^2 - 64b^2$.

Ответ: $25a^2 - 64b^2$.

е) В выражении $(10x - 6c)(10x + 6c)$ имеем $a = 10x$ и $b = 6c$.

Применяем формулу:

$(10x - 6c)(10x + 6c) = (10x)^2 - (6c)^2 = 100x^2 - 36c^2$.

Ответ: $100x^2 - 36c^2$.

872. С помощью рисунка 87 разъясните геометрический смысл формулы (а − b)(а + b) = а² − b² для положительных а и b, удовлетворяющих условию а > b.

Геометрический смысл формулы разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ можно наглядно продемонстрировать с помощью площадей фигур, изображенных на рисунке.

1. Сначала рассмотрим левую часть формулы: $a^2 - b^2$.

На рисунке показан большой квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $S_{1} = a^2$. Из левого нижнего угла этого квадрата вырезан меньший квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_{2} = b^2$. Когда мы вычитаем площадь меньшего квадрата из площади большего, мы получаем площадь оставшейся L-образной фигуры (которую также называют гномоном). Таким образом, площадь этой фигуры в точности равна $a^2 - b^2$.

2. Теперь рассмотрим правую часть формулы: $(a-b)(a+b)$.

Мы можем показать, что L-образную фигуру с площадью $a^2 - b^2$ можно преобразовать в прямоугольник со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. Для этого мысленно разрежем L-образную фигуру на два прямоугольника. Проведем вертикальную линию вверх от правого верхнего угла вырезанного квадрата до верхней стороны большого квадрата.

В результате мы получим два прямоугольника:

• Прямоугольник 1 (справа): его высота равна $a$, а ширина равна $(a-b)$.
• Прямоугольник 2 (сверху): его высота равна $(a-b)$, а ширина равна $b$.

Теперь выполним перестановку. Возьмем Прямоугольник 2 (размером $b$ на $(a-b)$) и приставим его сверху к Прямоугольнику 1 (размером $a$ на $(a-b)$). Мы не можем их состыковать, так как стороны не совпадают. Давайте разрежем фигуру по-другому.

Проведем горизонтальный разрез от правого верхнего угла вырезанного квадрата до правой стороны большого квадрата. Мы получим:

• Верхний прямоугольник с размерами $a$ на $(a-b)$.
• Боковой прямоугольник (справа от вырезанного квадрата) с размерами $(a-b)$ на $b$.

Теперь возьмем боковой прямоугольник (размером $(a-b)$ на $b$) и приставим его к верхнему прямоугольнику (размером $a$ на $(a-b)$) сбоку. Сторона верхнего прямоугольника длиной $a$ может быть представлена как $b + (a-b)$. Мы можем совместить сторону бокового прямоугольника длиной $b$ с частью стороны $a$ верхнего прямоугольника.

В результате такой перестановки мы получим новый, единый прямоугольник. Найдем его размеры:

• Одна сторона нового прямоугольника будет равна $(a-b)$ (это высота обоих исходных частей).
• Другая сторона будет равна сумме длин $a$ и $b$, то есть $(a+b)$.

Площадь этого нового прямоугольника равна произведению его сторон: $(a-b)(a+b)$.

Поскольку мы получили этот прямоугольник путем перестановки частей исходной L-образной фигуры, их площади равны. Таким образом, мы геометрически показали, что $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Ответ: Геометрический смысл формулы заключается в том, что площадь фигуры, полученной после вырезания из квадрата со стороной $a$ квадрата со стороной $b$ (то есть $a^2 - b^2$), равна площади прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. Это доказывается путем разрезания L-образной фигуры на две части и их перестановки в новый прямоугольник.