Страница 178 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

890. (Для работы в парах.) Докажите, что сумма произведения трёх последовательных целых чисел и среднего из них равна кубу среднего числа.
1) Проверьте утверждение на примере чисел 19, 20, 21.
2) Составьте выражение, обозначив через р одно из этих чисел, и выполните преобразование составленного выражения. Одному учащемуся рекомендуем обозначить через р наименьшее из чисел, а другому − среднее из чисел.
3) Проверьте друг у друга правильность преобразований и сравните их сложность.

1)

Проверим утверждение на примере чисел 19, 20, 21.В этой последовательности средним числом является 20.

Сначала найдем произведение трёх этих чисел:

$19 \cdot 20 \cdot 21 = 380 \cdot 21 = 7980$

Затем к полученному произведению прибавим среднее число (20):

$7980 + 20 = 8000$

Теперь найдем куб среднего числа:

$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$

Так как $8000 = 8000$, утверждение для чисел 19, 20, 21 верно.

Ответ: $19 \cdot 20 \cdot 21 + 20 = 7980 + 20 = 8000$; $20^3 = 8000$. Утверждение верно.

2)

Составим выражение и докажем утверждение в общем виде. Рассмотрим два варианта, как предложено в задаче.

Вариант А: наименьшее из чисел обозначено через $p$.

В этом случае три последовательных числа — это $p$, $p+1$ и $p+2$. Средним числом является $p+1$.Сумма их произведения и среднего числа равна:

$p(p+1)(p+2) + (p+1)$

Вынесем общий множитель $(p+1)$ за скобки и упростим выражение:

$(p+1) \cdot [p(p+2) + 1] = (p+1) \cdot [p^2 + 2p + 1]$

Выражение в квадратных скобках является полным квадратом: $p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2$.Тогда всё выражение равно:

$(p+1) \cdot (p+1)^2 = (p+1)^3$

Это куб среднего числа $(p+1)$, что и требовалось доказать.

Вариант Б: среднее из чисел обозначено через $p$.

В этом случае три последовательных числа — это $p-1$, $p$ и $p+1$. Средним числом является $p$.Сумма их произведения и среднего числа равна:

$(p-1)p(p+1) + p$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$p \cdot [(p-1)(p+1) + 1]$

В скобках применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$p \cdot [(p^2 - 1^2) + 1] = p \cdot [p^2 - 1 + 1] = p \cdot p^2 = p^3$

Это куб среднего числа $p$, что и требовалось доказать.

Ответ: Если наименьшее число — $p$, то выражение $p(p+1)(p+2) + (p+1)$ преобразуется к $(p+1)^3$. Если среднее число — $p$, то выражение $(p-1)p(p+1) + p$ преобразуется к $p^3$. В обоих случаях утверждение доказано.

3)

Преобразования, выполненные в обоих вариантах пункта 2, верны, так как они приводят к одному и тому же результату — кубу среднего числа.

Сравним сложность этих двух подходов:

Первый подход (когда $p$ — наименьшее число) требует вынесения общего множителя, раскрытия скобок и распознавания формулы квадрата суммы. Эти шаги не очень сложны, но требуют нескольких действий.

Второй подход (когда $p$ — среднее число) после вынесения общего множителя использует формулу разности квадратов. Это приводит к почти мгновенному упрощению выражения в скобках ($p^2 - 1 + 1 = p^2$), что делает вычисления короче и изящнее.

Таким образом, второй способ решения, где за переменную обозначается среднее число, можно считать более простым и рациональным.

Ответ: Оба способа преобразований верны. Способ, в котором за $p$ обозначается среднее число, является менее сложным и более быстрым благодаря применению формулы разности квадратов.

891. Упростите выражение:

а) $5a(a - 8) - 3(a + 2)(a - 2)$

Для упрощения данного выражения мы воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для произведения $(a+2)(a-2)$ и распределительным законом для первого слагаемого.

1. Упростим произведение $(a+2)(a-2)$:

$(a + 2)(a - 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

2. Подставим результат в исходное выражение:

$5a(a - 8) - 3(a^2 - 4)$

3. Теперь раскроем скобки:

$5a \cdot a - 5a \cdot 8 - 3 \cdot a^2 - 3 \cdot (-4) = 5a^2 - 40a - 3a^2 + 12$

4. Приведем подобные слагаемые (члены с $a^2$ и свободные члены):

$(5a^2 - 3a^2) - 40a + 12 = 2a^2 - 40a + 12$

Ответ: $2a^2 - 40a + 12$

б) $(1 - 4b)(4b + 1) + 6b(b - 2)$

Первое произведение $(1 - 4b)(4b + 1)$ является разностью квадратов. Второе слагаемое упростим, раскрыв скобки.

1. Упростим $(1 - 4b)(4b + 1)$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(1 - 4b)(1 + 4b)$.

$(1 - 4b)(1 + 4b) = 1^2 - (4b)^2 = 1 - 16b^2$

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

$6b(b - 2) = 6b \cdot b + 6b \cdot (-2) = 6b^2 - 12b$

3. Сложим полученные выражения:

$(1 - 16b^2) + (6b^2 - 12b) = 1 - 16b^2 + 6b^2 - 12b$

4. Приведем подобные слагаемые и запишем многочлен в стандартном виде:

$(-16b^2 + 6b^2) - 12b + 1 = -10b^2 - 12b + 1$

Ответ: $-10b^2 - 12b + 1$

в) $(8p - q)(q + 8p) - (p + q)(p - q)$

Оба произведения в этом выражении являются формулами разности квадратов.

1. Упростим первое произведение $(8p - q)(q + 8p)$. Переставим слагаемые во второй скобке: $(8p - q)(8p + q)$.

$(8p - q)(8p + q) = (8p)^2 - q^2 = 64p^2 - q^2$

2. Упростим второе произведение $(p + q)(p - q)$:

$(p + q)(p - q) = p^2 - q^2$

3. Подставим результаты в исходное выражение:

$(64p^2 - q^2) - (p^2 - q^2) = 64p^2 - q^2 - p^2 + q^2$

4. Приведем подобные слагаемые:

$(64p^2 - p^2) + (-q^2 + q^2) = 63p^2$

Ответ: $63p^2$

г) $(2x - 7y)(2x + 7y) + (2x - 7y)(7y - 2x)$

В данном выражении можно заметить общий множитель $(2x - 7y)$ и вынести его за скобки для упрощения.

1. Вынесем общий множитель $(2x - 7y)$ за скобки:

$(2x - 7y) \cdot ((2x + 7y) + (7y - 2x))$

2. Упростим выражение во вторых (внутренних) скобках:

$2x + 7y + 7y - 2x = (2x - 2x) + (7y + 7y) = 0 + 14y = 14y$

3. Теперь умножим вынесенный множитель на полученный результат:

$(2x - 7y) \cdot 14y = 2x \cdot 14y - 7y \cdot 14y = 28xy - 98y^2$

Ответ: $28xy - 98y^2$

892. Решите уравнение:

а) $8m(1 + 2m) - (4m + 3)(4m - 3) = 2m$

Для решения этого уравнения сначала необходимо раскрыть скобки в левой части. Начнем с первого слагаемого $8m(1 + 2m)$. Для этого умножим $8m$ на каждый член внутри скобок:

$8m \cdot 1 + 8m \cdot 2m = 8m + 16m^2$

Далее рассмотрим произведение $(4m + 3)(4m - 3)$. Это выражение соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = 4m$ и $b = 3$.

$(4m + 3)(4m - 3) = (4m)^2 - 3^2 = 16m^2 - 9$

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение:

$(8m + 16m^2) - (16m^2 - 9) = 2m$

Раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$8m + 16m^2 - 16m^2 + 9 = 2m$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения. Члены $16m^2$ и $-16m^2$ взаимно уничтожаются:

$8m + 9 = 2m$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $m$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки при переносе:

$8m - 2m = -9$

$6m = -9$

Чтобы найти $m$, разделим обе части уравнения на 6:

$m = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$.

б) $x - 3x(1 - 12x) = 11 - (5 - 6x)(6x + 5)$

Сначала упростим обе части уравнения, раскрыв скобки. В левой части раскроем скобки $3x(1-12x)$:

$x - (3x \cdot 1 - 3x \cdot 12x) = x - (3x - 36x^2)$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:

$x - 3x + 36x^2 = -2x + 36x^2$

В правой части уравнения видим произведение $(5 - 6x)(6x + 5)$. Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы увидеть формулу разности квадратов: $(5 - 6x)(5 + 6x)$. Здесь $a=5$ и $b=6x$, поэтому $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(5 - 6x)(5 + 6x) = 5^2 - (6x)^2 = 25 - 36x^2$

Подставим полученные упрощенные выражения обратно в уравнение:

$-2x + 36x^2 = 11 - (25 - 36x^2)$

Раскроем скобки в правой части, изменив знаки на противоположные:

$-2x + 36x^2 = 11 - 25 + 36x^2$

$-2x + 36x^2 = -14 + 36x^2$

Мы видим, что слагаемое $36x^2$ присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей (или, как говорят, "сократим"):

$-2x = -14$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2$:

$x = \frac{-14}{-2}$

$x = 7$

Ответ: $7$.

893. Найдите корень уравнения:

а) $(6x - 1)(6x + 1) - 4x(9x + 2) = -1$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого $(6x - 1)(6x + 1)$ применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Для второго слагаемого $-4x(9x + 2)$ выполним умножение одночлена на многочлен.

$(6x)^2 - 1^2 - (4x \cdot 9x + 4x \cdot 2) = -1$

$36x^2 - 1 - (36x^2 + 8x) = -1$

Раскроем скобки, меняя знаки на противоположные:

$36x^2 - 1 - 36x^2 - 8x = -1$

Приведем подобные слагаемые. Выражения $36x^2$ и $-36x^2$ взаимно уничтожаются.

$-1 - 8x = -1$

Перенесем слагаемое $-1$ из левой части в правую с противоположным знаком:

$-8x = -1 + 1$

$-8x = 0$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-8$:

$x = \frac{0}{-8}$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) $(8 - 9a)a = -40 + (6 - 3a)(6 + 3a)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части умножим $a$ на многочлен $(8 - 9a)$. В правой части для выражения $(6 - 3a)(6 + 3a)$ применим формулу разности квадратов.

В левой части:

$8 \cdot a - 9a \cdot a = 8a - 9a^2$

В правой части:

$-40 + (6^2 - (3a)^2) = -40 + 36 - 9a^2$

Теперь приравняем полученные выражения:

$8a - 9a^2 = -40 + 36 - 9a^2$

Упростим правую часть:

$8a - 9a^2 = -4 - 9a^2$

Перенесем слагаемое $-9a^2$ из правой части в левую с противоположным знаком. Эти слагаемые взаимно уничтожатся.

$8a - 9a^2 + 9a^2 = -4$

$8a = -4$

Найдем $a$, разделив обе части уравнения на 8:

$a = \frac{-4}{8}$

$a = -0.5$

Ответ: $-0.5$.

894. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

а) 1 − 4хy + 4х²y²; б) 14а²b² + ab + 1.

а) Чтобы представить выражение $1 - 4xy + 4x^2y^2$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем выражении мы можем выделить следующие части, соответствующие этой формуле:

Первый член $a^2$ — это $1$, что является квадратом числа $1$. Значит, $a = 1$.

Третий член $b^2$ — это $4x^2y^2$, что является квадратом выражения $2xy$. Значит, $b = 2xy$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражения удвоенному произведению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot 1 \cdot (2xy) = 4xy$.

В исходном выражении средний член равен $-4xy$, что соответствует $-2ab$. Таким образом, выражение полностью совпадает с развернутой формулой квадрата разности.

Следовательно, мы можем записать:

$1 - 4xy + 4x^2y^2 = (1)^2 - 2 \cdot 1 \cdot (2xy) + (2xy)^2 = (1 - 2xy)^2$.

Ответ: $(1 - 2xy)^2$.

б) Чтобы представить выражение $\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1$ в виде квадрата двучлена, необходимо применить формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем выражении мы можем выделить следующие части, соответствующие этой формуле:

Первый член $a^2$ — это $\frac{1}{4}a^2b^2$, что является квадратом выражения $\frac{1}{2}ab$. Значит, $a = \frac{1}{2}ab$.

Третий член $b^2$ — это $1$, что является квадратом числа $1$. Значит, $b = 1$.

Теперь проверим, соответствует ли средний член выражения удвоенному произведению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 = ab$.

В исходном выражении средний член равен $ab$, что соответствует $2ab$. Таким образом, выражение полностью совпадает с развернутой формулой квадрата суммы.

Следовательно, мы можем записать:

$\frac{1}{4}a^2b^2 + ab + 1 = (\frac{1}{2}ab)^2 + 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) \cdot 1 + (1)^2 = (\frac{1}{2}ab + 1)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}ab + 1)^2$.

895. Докажите тождество:
а) (а + b)² − 4аb = (а − b)²;
б) (а − b)² + 4аb = (а + b)²;
в) (х + 3)³ + (х − 3)³ = 2х³ + 54х.

а) Чтобы доказать тождество $(a + b)^2 - 4ab = (a - b)^2$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a + b)^2 - 4ab = (a^2 + 2ab + b^2) - 4ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Полученное выражение является формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^2 + 4ab = (a^2 - 2ab + b^2) + 4ab$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + 4ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Полученное выражение является формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

в) Чтобы доказать тождество $(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = 2x^3 + 54x$, преобразуем его левую часть. Используем формулы сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Раскроем каждую скобку по отдельности:

$(x + 3)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Теперь сложим полученные выражения:

$(x + 3)^3 + (x - 3)^3 = (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) + (x^3 - 9x^2 + 27x - 27)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 + x^3) + (9x^2 - 9x^2) + (27x + 27x) + (27 - 27) = 2x^3 + 0 + 54x + 0 = 2x^3 + 54x$

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного тождества. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

896. Разложите на множители:

а) Чтобы разложить на множители выражение $2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc$, необходимо найти общий множитель для всех его членов. Для этого определим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и наименьшие степени для каждой переменной, входящей во все члены.

1. Числовые коэффициенты: 2, -3, 4. Их НОД равен 1.

2. Переменная $a$: входит в члены как $a$, $a$, $a^2$. Наименьшая степень – $a^1$ или $a$.

3. Переменная $b$: входит в члены как $b$, $b^2$, $b$. Наименьшая степень – $b^1$ или $b$.

4. Переменная $c$: входит в члены как $c^2$, $c$, $c$. Наименьшая степень – $c^1$ или $c$.

Таким образом, общий множитель, который можно вынести за скобки, – это $abc$.

Выполним деление каждого члена многочлена на общий множитель:

$2abc^2 : (abc) = 2c$

$-3ab^2c : (abc) = -3b$

$4a^2bc : (abc) = 4a$

Запишем выражение в виде произведения общего множителя и многочлена в скобках:

$2abc^2 - 3ab^2c + 4a^2bc = abc(2c - 3b + 4a)$.

Ответ: $abc(2c - 3b + 4a)$.

б) Разложим на множители выражение $12a^2xy^3 - 6axy^5$.

1. НОД для коэффициентов 12 и -6 равен 6.

2. Наименьшая степень переменной $a$ – это $a^1$.

3. Наименьшая степень переменной $x$ – это $x^1$.

4. Наименьшая степень переменной $y$ – это $y^3$.

Общий множитель – $6axy^3$. Вынесем его за скобки:

$12a^2xy^3 - 6axy^5 = 6axy^3(2a) - 6axy^3(y^2) = 6axy^3(2a - y^2)$.

Ответ: $6axy^3(2a - y^2)$.

в) Разложим на множители выражение $-15am^3n^4 - 20am^4n^6$.

1. НОД для коэффициентов -15 и -20 равен 5. Поскольку оба члена отрицательные, удобно вынести за скобки -5.

2. Наименьшая степень переменной $a$ – это $a^1$.

3. Наименьшая степень переменной $m$ – это $m^3$.

4. Наименьшая степень переменной $n$ – это $n^4$.

Общий множитель – $-5am^3n^4$. Вынесем его за скобки:

$-15am^3n^4 - 20am^4n^6 = -5am^3n^4(3) + (-5am^3n^4)(4mn^2) = -5am^3n^4(3 + 4mn^2)$.

Ответ: $-5am^3n^4(3 + 4mn^2)$.

г) Разложим на множители выражение $-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8$.

1. НОД для коэффициентов -28 и 16 равен 4. Чтобы первый член в скобках был положительным, вынесем за скобки -4.

2. Наименьшая степень переменной $b$ – это $b^4$.

3. Наименьшая степень переменной $c$ – это $c^5$.

4. Наименьшая степень переменной $y$ – это $y^1$.

Общий множитель – $-4b^4c^5y$. Вынесем его за скобки:

$-28b^4c^5y + 16b^5c^6y^8 = -4b^4c^5y(7) - 4b^4c^5y(-4bcy^7) = -4b^4c^5y(7 - 4bcy^7)$.

Ответ: $-4b^4c^5y(7 - 4bcy^7)$.

897. Решите уравнение:

а) $2x - \frac{x-2}{2} = \frac{x}{3} - 6$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 2 и 3, то есть на 6:

$6 \cdot (2x - \frac{x-2}{2}) = 6 \cdot (\frac{x}{3} - 6)$

$6 \cdot 2x - 6 \cdot \frac{x-2}{2} = 6 \cdot \frac{x}{3} - 6 \cdot 6$

$12x - 3(x-2) = 2x - 36$

Раскроем скобки:

$12x - 3x + 6 = 2x - 36$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$9x + 6 = 2x - 36$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$9x - 2x = -36 - 6$

$7x = -42$

Найдем $x$:

$x = \frac{-42}{7}$

$x = -6$

Ответ: $-6$

б) $1 + \frac{x+1}{3} = x - \frac{3x+1}{8}$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 8, то есть на 24:

$24 \cdot (1 + \frac{x+1}{3}) = 24 \cdot (x - \frac{3x+1}{8})$

$24 \cdot 1 + 24 \cdot \frac{x+1}{3} = 24 \cdot x - 24 \cdot \frac{3x+1}{8}$

$24 + 8(x+1) = 24x - 3(3x+1)$

Раскроем скобки:

$24 + 8x + 8 = 24x - 9x - 3$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$32 + 8x = 15x - 3$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$32 + 3 = 15x - 8x$

$35 = 7x$

Найдем $x$:

$x = \frac{35}{7}$

$x = 5$

Ответ: $5$

в) $\frac{1-y}{7} + y = \frac{y}{2} + 3$

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 7 и 2, то есть на 14:

$14 \cdot (\frac{1-y}{7} + y) = 14 \cdot (\frac{y}{2} + 3)$

$14 \cdot \frac{1-y}{7} + 14 \cdot y = 14 \cdot \frac{y}{2} + 14 \cdot 3$

$2(1-y) + 14y = 7y + 42$

Раскроем скобки:

$2 - 2y + 14y = 7y + 42$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2 + 12y = 7y + 42$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$12y - 7y = 42 - 2$

$5y = 40$

Найдем $y$:

$y = \frac{40}{5}$

$y = 8$

Ответ: $8$

г) $6 = \frac{3x-1}{2} \cdot 2,4$

Выполним умножение в правой части, представив 2,4 как $\frac{24}{10}$:

$6 = \frac{3x-1}{2} \cdot \frac{24}{10}$

$6 = \frac{(3x-1) \cdot 24}{2 \cdot 10} = \frac{(3x-1) \cdot 12}{10} = \frac{(3x-1) \cdot 6}{5}$

Разделим обе части уравнения на 6:

$1 = \frac{3x-1}{5}$

Умножим обе части на 5:

$5 = 3x - 1$

Перенесем -1 в левую часть:

$5 + 1 = 3x$

$6 = 3x$

Найдем $x$:

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Ответ: $2$

д) $0,69 = \frac{5-2y}{8} \cdot 13,8$

Разделим обе части уравнения на 13,8:

$\frac{0,69}{13,8} = \frac{5-2y}{8}$

Вычислим значение дроби в левой части, умножив числитель и знаменатель на 100: $\frac{0,69 \cdot 100}{13,8 \cdot 100} = \frac{69}{1380}$.

Сократим дробь: $\frac{69}{1380} = \frac{69}{69 \cdot 20} = \frac{1}{20}$.

Получаем уравнение:

$\frac{1}{20} = \frac{5-2y}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$1 \cdot 8 = 20 \cdot (5-2y)$

$8 = 100 - 40y$

Перенесем слагаемое с $y$ в левую часть, а число 8 — в правую:

$40y = 100 - 8$

$40y = 92$

Найдем $y$:

$y = \frac{92}{40} = \frac{23 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{23}{10} = 2,3$

Ответ: $2,3$

е) $0,5 \cdot \frac{4+2x}{13} = x - 10$

Представим 0,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4+2x}{13} = x - 10$

Выполним умножение дробей в левой части:

$\frac{4+2x}{2 \cdot 13} = x - 10$

$\frac{4+2x}{26} = x - 10$

Умножим обе части уравнения на 26, чтобы избавиться от знаменателя:

$4+2x = 26(x-10)$

Раскроем скобки в правой части:

$4+2x = 26x - 260$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$4 + 260 = 26x - 2x$

$264 = 24x$

Найдем $x$:

$x = \frac{264}{24}$

$x = 11$

Ответ: $11$