Страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

909. Разложите на множители:

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $64 - y^4$

Представим каждый член выражения в виде квадрата. $64 = 8^2$ и $y^4 = (y^2)^2$. Таким образом, мы получаем разность квадратов: $64 - y^4 = 8^2 - (y^2)^2$. Применим формулу, где $a = 8$ и $b = y^2$.

Ответ: $(8 - y^2)(8 + y^2)$

б) $x^2 - c^6$

Представим $c^6$ как $(c^3)^2$. Выражение принимает вид разности квадратов: $x^2 - (c^3)^2$. По формуле, где $a = x$ и $b = c^3$, получаем разложение.

Ответ: $(x - c^3)(x + c^3)$

в) $a^4 - b^8$

Представим члены выражения в виде квадратов: $a^4 = (a^2)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$. Получаем разность квадратов: $(a^2)^2 - (b^4)^2 = (a^2 - b^4)(a^2 + b^4)$. Первый множитель $(a^2 - b^4)$ также является разностью квадратов: $a^2 - (b^2)^2 = (a - b^2)(a + b^2)$. Второй множитель $(a^2 + b^4)$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(a - b^2)(a + b^2)(a^2 + b^4)$

г) $25m^6 - n^2$

Представим $25m^6$ как $(5m^3)^2$. Получаем разность квадратов: $(5m^3)^2 - n^2$. Применим формулу, где $a = 5m^3$ и $b = n$.

Ответ: $(5m^3 - n)(5m^3 + n)$

д) $1 - 49p^{10}$

Представим $1$ как $1^2$ и $49p^{10}$ как $(7p^5)^2$. Получаем разность квадратов: $1^2 - (7p^5)^2$. Применим формулу, где $a = 1$ и $b = 7p^5$.

Ответ: $(1 - 7p^5)(1 + 7p^5)$

е) $4y^6 - 9a^4$

Представим члены выражения в виде квадратов: $4y^6 = (2y^3)^2$ и $9a^4 = (3a^2)^2$. Получаем разность квадратов: $(2y^3)^2 - (3a^2)^2$. Применим формулу, где $a = 2y^3$ и $b = 3a^2$.

Ответ: $(2y^3 - 3a^2)(2y^3 + 3a^2)$

ж) $64 - a^4b^4$

Представим члены выражения в виде квадратов: $64 = 8^2$ и $a^4b^4 = (a^2b^2)^2$. Получаем разность квадратов: $8^2 - (a^2b^2)^2$. Применим формулу, где $a = 8$ и $b = a^2b^2$.

Ответ: $(8 - a^2b^2)(8 + a^2b^2)$

з) $16b^2c^{12} - 0,25$

Представим члены выражения в виде квадратов: $16b^2c^{12} = (4bc^6)^2$ и $0,25 = (0,5)^2$. Получаем разность квадратов: $(4bc^6)^2 - (0,5)^2$. Применим формулу, где $a = 4bc^6$ и $b = 0,5$.

Ответ: $(4bc^6 - 0,5)(4bc^6 + 0,5)$

и) $81x^6y^2 - 0,36a^2$

Представим члены выражения в виде квадратов: $81x^6y^2 = (9x^3y)^2$ и $0,36a^2 = (0,6a)^2$. Получаем разность квадратов: $(9x^3y)^2 - (0,6a)^2$. Применим формулу, где $a = 9x^3y$ и $b = 0,6a$.

Ответ: $(9x^3y - 0,6a)(9x^3y + 0,6a)$

910. Представьте выражение в виде произведения:

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а)

Представим выражение $(x + 3)^2 - 1$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = x+3$, а $b = 1$, так как $1 = 1^2$.

Применяем формулу:

$(x + 3)^2 - 1^2 = ((x + 3) - 1)((x + 3) + 1)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(x + 3 - 1)(x + 3 + 1) = (x + 2)(x + 4)$

Ответ: $(x + 2)(x + 4)$.

б)

Представим выражение $64 - (b + 1)^2$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 8$, так как $64 = 8^2$, а $b = b+1$.

Применяем формулу:

$8^2 - (b + 1)^2 = (8 - (b + 1))(8 + (b + 1))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(8 - b - 1)(8 + b + 1) = (7 - b)(9 + b)$

Ответ: $(7 - b)(b + 9)$.

в)

Представим выражение $(4a - 3)^2 - 16$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 4a-3$, а $b = 4$, так как $16 = 4^2$.

Применяем формулу:

$(4a - 3)^2 - 4^2 = ((4a - 3) - 4)((4a - 3) + 4)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4a - 3 - 4)(4a - 3 + 4) = (4a - 7)(4a + 1)$

Ответ: $(4a - 7)(4a + 1)$.

г)

Представим выражение $25 - (a + 7)^2$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 5$, так как $25 = 5^2$, а $b = a+7$.

Применяем формулу:

$5^2 - (a + 7)^2 = (5 - (a + 7))(5 + (a + 7))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(5 - a - 7)(5 + a + 7) = (-a - 2)(a + 12)$

Ответ: $(-a - 2)(a + 12)$.

д)

Представим выражение $(5y - 6)^2 - 81$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 5y-6$, а $b = 9$, так как $81 = 9^2$.

Применяем формулу:

$(5y - 6)^2 - 9^2 = ((5y - 6) - 9)((5y - 6) + 9)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(5y - 6 - 9)(5y - 6 + 9) = (5y - 15)(5y + 3)$

Для полного разложения на множители вынесем общий множитель 5 из первой скобки:

$5(y - 3)(5y + 3)$

Ответ: $5(y - 3)(5y + 3)$.

е)

Представим выражение $1 - (2x - 1)^2$ в виде разности квадратов. В данном случае $a = 1$, так как $1 = 1^2$, а $b = 2x-1$.

Применяем формулу:

$1^2 - (2x - 1)^2 = (1 - (2x - 1))(1 + (2x - 1))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(1 - 2x + 1)(1 + 2x - 1) = (2 - 2x)(2x)$

Для полного разложения на множители вынесем общий множитель 2 из первой скобки и перемножим:

$2(1 - x)(2x) = 4x(1 - x)$

Ответ: $4x(1 - x)$.

911. Разложите на множители:

а) Для разложения выражения $9y^2 - (1 + 2y)^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = \sqrt{9y^2} = 3y$ и $B = 1 + 2y$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$9y^2 - (1 + 2y)^2 = (3y)^2 - (1 + 2y)^2 = (3y - (1 + 2y))(3y + (1 + 2y)) = (3y - 1 - 2y)(3y + 1 + 2y) = (y - 1)(5y + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(5y + 1)$.

б) Для разложения выражения $(3c - 5)^2 - 16c^2$ на множители применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = 3c - 5$ и $B = \sqrt{16c^2} = 4c$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(3c - 5)^2 - (4c)^2 = ((3c - 5) - 4c)((3c - 5) + 4c) = (3c - 5 - 4c)(3c - 5 + 4c) = (-c - 5)(7c - 5)$.
Ответ: $(-c - 5)(7c - 5)$.

в) Для разложения выражения $49x^2 - (y + 8x)^2$ на множители используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В этом случае $A = \sqrt{49x^2} = 7x$ и $B = y + 8x$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(7x)^2 - (y + 8x)^2 = (7x - (y + 8x))(7x + (y + 8x)) = (7x - y - 8x)(7x + y + 8x) = (-x - y)(15x + y)$.
Ответ: $(-x - y)(15x + y)$.

г) Для разложения выражения $(5a - 3b)^2 - 25a^2$ на множители применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = 5a - 3b$ и $B = \sqrt{25a^2} = 5a$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(5a - 3b)^2 - (5a)^2 = ((5a - 3b) - 5a)((5a - 3b) + 5a) = (5a - 3b - 5a)(5a - 3b + 5a) = (-3b)(10a - 3b)$.
Ответ: $-3b(10a - 3b)$.

д) Для разложения выражения $(-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = -2a^2 + 3b$ и $B = \sqrt{4a^4} = 2a^2$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(-2a^2 + 3b)^2 - (2a^2)^2 = ((-2a^2 + 3b) - 2a^2)((-2a^2 + 3b) + 2a^2) = (-2a^2 + 3b - 2a^2)(-2a^2 + 3b + 2a^2) = (-4a^2 + 3b)(3b)$.
Для удобства можно записать так: $3b(3b - 4a^2)$.
Ответ: $3b(3b - 4a^2)$.

е) Для разложения выражения $b^6 - (x - 4b^3)^2$ на множители применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $b^6$ как $(b^3)^2$. Тогда $A = b^3$ и $B = x - 4b^3$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(b^3)^2 - (x - 4b^3)^2 = (b^3 - (x - 4b^3))(b^3 + (x - 4b^3)) = (b^3 - x + 4b^3)(b^3 + x - 4b^3) = (5b^3 - x)(x - 3b^3)$.
Ответ: $(5b^3 - x)(x - 3b^3)$.

912. Представьте в виде произведения:

а) Для разложения на множители выражения $(2b - 5)^2 - 36$ воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим $36$ как $6^2$. Тогда выражение примет вид $(2b - 5)^2 - 6^2$. В данном случае $A = 2b - 5$ и $B = 6$. Подставляя в формулу, получаем: $((2b - 5) - 6)((2b - 5) + 6)$. Упрощая выражения в скобках, имеем $(2b - 5 - 6)(2b - 5 + 6)$, что равно $(2b - 11)(2b + 1)$.
Ответ: $(2b - 11)(2b + 1)$.

б) Выражение $9 - (7 + 3a)^2$ также раскладывается по формуле разности квадратов. Представим $9$ как $3^2$. Получаем $3^2 - (7 + 3a)^2$. Здесь $A = 3$ и $B = 7 + 3a$. Применяем формулу: $(3 - (7 + 3a))(3 + (7 + 3a))$. Раскрываем внутренние скобки: $(3 - 7 - 3a)(3 + 7 + 3a)$. Упрощаем и получаем: $(-4 - 3a)(10 + 3a)$.
Ответ: $(-4 - 3a)(10 + 3a)$.

в) Для выражения $(4 - 11m)^2 - 1$ используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Представим $1$ как $1^2$. Получим $(4 - 11m)^2 - 1^2$. Здесь $A = 4 - 11m$ и $B = 1$. Подставляем в формулу: $((4 - 11m) - 1)((4 - 11m) + 1)$. Упрощаем выражения в скобках: $(4 - 11m - 1)(4 - 11m + 1)$, что равно $(3 - 11m)(5 - 11m)$.
Ответ: $(3 - 11m)(5 - 11m)$.

г) В выражении $p^2 - (2p + 1)^2$ применяем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В этом случае $A = p$ и $B = 2p + 1$. Подставляем в формулу: $(p - (2p + 1))(p + (2p + 1))$. Раскрываем внутренние скобки и приводим подобные слагаемые: $(p - 2p - 1)(p + 2p + 1)$. В результате получаем $(-p - 1)(3p + 1)$.
Ответ: $(-p - 1)(3p + 1)$.

д) Чтобы представить выражение $(5c - 3d)^2 - 9d^2$ в виде произведения, сначала заметим, что $9d^2 = (3d)^2$. Теперь выражение имеет вид разности квадратов: $(5c - 3d)^2 - (3d)^2$. Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 5c - 3d$ и $B = 3d$. Получаем: $((5c - 3d) - 3d)((5c - 3d) + 3d)$. Упрощаем выражения в каждой скобке: $(5c - 3d - 3d)(5c - 3d + 3d) = (5c - 6d)(5c)$. Переставив множители, получим $5c(5c - 6d)$.
Ответ: $5c(5c - 6d)$.

е) Для разложения выражения $a^4 - (9b + a^2)^2$ представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Выражение принимает вид разности квадратов: $(a^2)^2 - (9b + a^2)^2$. Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = a^2$ и $B = 9b + a^2$. Подставляем: $(a^2 - (9b + a^2))(a^2 + (9b + a^2))$. Раскрываем внутренние скобки и упрощаем: $(a^2 - 9b - a^2)(a^2 + 9b + a^2)$. В результате получаем $(-9b)(2a^2 + 9b)$.
Ответ: $-9b(2a^2 + 9b)$.

913. Представьте в виде произведения:

Для решения всех пунктов задачи используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) $(2x + y)^2 - (x - 2y)^2$

В данном выражении $a = (2x + y)$ и $b = (x - 2y)$. Применим формулу разности квадратов:

$(2x + y)^2 - (x - 2y)^2 = ((2x + y) - (x - 2y))((2x + y) + (x - 2y))$

Раскроем скобки внутри каждого множителя и приведем подобные слагаемые:

Первый множитель: $(2x + y) - (x - 2y) = 2x + y - x + 2y = x + 3y$

Второй множитель: $(2x + y) + (x - 2y) = 2x + y + x - 2y = 3x - y$

Таким образом, исходное выражение равно произведению $(x + 3y)(3x - y)$.

Ответ: $(x + 3y)(3x - y)$.

б) $(a + b)^2 - (b + c)^2$

Здесь $a = (a + b)$ и $b = (b + c)$. Применим формулу разности квадратов:

$(a + b)^2 - (b + c)^2 = ((a + b) - (b + c))((a + b) + (b + c))$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(a + b) - (b + c) = a + b - b - c = a - c$

Второй множитель: $(a + b) + (b + c) = a + b + b + c = a + 2b + c$

Результат: $(a - c)(a + 2b + c)$.

Ответ: $(a - c)(a + 2b + c)$.

в) $(m + n)^2 - (m - n)^2$

В этом выражении $a = (m + n)$ и $b = (m - n)$. Используем формулу:

$(m + n)^2 - (m - n)^2 = ((m + n) - (m - n))((m + n) + (m - n))$

Упростим множители:

Первый множитель: $(m + n) - (m - n) = m + n - m + n = 2n$

Второй множитель: $(m + n) + (m - n) = m + n + m - n = 2m$

Перемножим полученные выражения: $(2n)(2m) = 4mn$.

Ответ: $4mn$.

г) $(4c - x)^2 - (2c + 3x)^2$

Здесь $a = (4c - x)$ и $b = (2c + 3x)$. Применим формулу разности квадратов:

$(4c - x)^2 - (2c + 3x)^2 = ((4c - x) - (2c + 3x))((4c - x) + (2c + 3x))$

Упростим каждый из множителей:

Первый множитель: $(4c - x) - (2c + 3x) = 4c - x - 2c - 3x = 2c - 4x$

Второй множитель: $(4c - x) + (2c + 3x) = 4c - x + 2c + 3x = 6c + 2x$

Получаем произведение $(2c - 4x)(6c + 2x)$. Из первого множителя можно вынести 2, а из второго 2:

$2(c - 2x) \cdot 2(3c + x) = 4(c - 2x)(3c + x)$

Ответ: $4(c - 2x)(3c + x)$.

914. а) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (4n + 5)² − 9 делится на 4.
б) Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (n + 7)² − n² делится на 7.

а)

Чтобы доказать, что значение выражения $(4n + 5)^2 - 9$ делится на 4 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим 9 как $3^2$. Тогда наше выражение примет вид:

$(4n + 5)^2 - 3^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 4n + 5$ и $b = 3$:

$((4n + 5) - 3)((4n + 5) + 3)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4n + 2)(4n + 8)$

Теперь вынесем общий множитель из каждой скобки. Из первой скобки можно вынести 2, а из второй — 4:

$2(2n + 1) \cdot 4(n + 2) = 8(2n + 1)(n + 2)$

Полученное выражение имеет множитель 8. Поскольку 8 делится на 4 без остатка ($8 = 4 \cdot 2$), то и все произведение $8(2n + 1)(n + 2)$ также делится на 4 при любом натуральном значении $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Чтобы доказать, что значение выражения $(n + 7)^2 - n^2$ делится на 7 при любом натуральном $n$, также воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В данном случае $a = n + 7$ и $b = n$. Применим формулу:

$(n + 7)^2 - n^2 = ((n + 7) - n)((n + 7) + n)$

Упростим выражения в скобках:

$(7)(2n + 7)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 7 и выражения $(2n + 7)$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $(2n + 7)$ всегда будет целым числом. Произведение целого числа на 7 всегда делится на 7. Таким образом, мы доказали, что исходное выражение делится на 7 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

915. На сторонах прямоугольника построены квадраты (рис. 88). Площадь одного квадрата на 95 см² больше площади другого. Найдите периметр прямоугольника, если известно, что длина прямоугольника на 5 см больше его ширины.

Пусть ширина прямоугольника равна $b$ см, а длина – $a$ см. Согласно условию, длина прямоугольника на 5 см больше его ширины. Это можно записать в виде уравнения:

$a = b + 5$

На сторонах прямоугольника построены квадраты. Площадь квадрата, построенного на ширине прямоугольника, равна $S_b = b^2$ см?. Площадь квадрата, построенного на длине, равна $S_a = a^2$ см?.

По условию задачи, площадь одного квадрата на 95 см? больше площади другого. Так как длина $a$ больше ширины $b$ ($a > b$), то и площадь квадрата со стороной $a$ будет больше площади квадрата со стороной $b$ ($a^2 > b^2$). Таким образом, получаем второе уравнение:

$S_a = S_b + 95$

или

$a^2 = b^2 + 95$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$a = b + 5$

$a^2 = b^2 + 95$

Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$(b + 5)^2 = b^2 + 95$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$b^2 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2 = b^2 + 95$

$b^2 + 10b + 25 = b^2 + 95$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$10b + 25 = 95$

Перенесем 25 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$10b = 95 - 25$

$10b = 70$

Найдем $b$:

$b = \frac{70}{10}$

$b = 7$

Таким образом, ширина прямоугольника равна 7 см.

Теперь найдем длину прямоугольника $a$, используя первое уравнение:

$a = b + 5 = 7 + 5 = 12$

Длина прямоугольника равна 12 см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. Подставим найденные значения длины и ширины:

$P = 2(12 + 7)$

$P = 2 \cdot 19$

$P = 38$

Следовательно, периметр прямоугольника равен 38 см.

Ответ: 38 см.

916. (Задача − исследование.) Верно ли утверждение: если р − простое число, большее трёх, то значение выражения р² − 1 кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен р² − 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

Возьмем несколько простых чисел $p$, которые больше трёх, и проверим для них значение выражения $p^2 - 1$.
- Пусть $p = 5$. Тогда $p^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. Число 24 делится на 12 ($24 : 12 = 2$).
- Пусть $p = 7$. Тогда $p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Число 48 делится на 12 ($48 : 12 = 4$).
- Пусть $p = 11$. Тогда $p^2 - 1 = 11^2 - 1 = 121 - 1 = 120$. Число 120 делится на 12 ($120 : 12 = 10$).
- Пусть $p = 13$. Тогда $p^2 - 1 = 13^2 - 1 = 169 - 1 = 168$. Число 168 делится на 12 ($168 : 12 = 14$).
На этих примерах утверждение верно.

Ответ: на всех рассмотренных примерах утверждение подтвердилось.

2) Разложите многочлен p? ? 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

Многочлен $p^2 - 1$ является разностью квадратов, поэтому его можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Теперь обсудим, почему произведение $(p - 1)(p + 1)$ кратно 4.
По условию, $p$ — простое число, большее трёх. Это означает, что $p$ не может быть чётным числом (единственное чётное простое число — это 2, которое не больше 3). Следовательно, $p$ — нечётное число.
Если $p$ — нечётное число, то числа $p - 1$ и $p + 1$ являются двумя последовательными чётными числами.
Например, если $p=5$, то $p-1=4$ и $p+1=6$. Если $p=7$, то $p-1=6$ и $p+1=8$.
Поскольку $p-1$ и $p+1$ — два последовательных чётных числа, то одно из них делится на 2, а другое — на 4. Например, если $p-1 = 2k$ и $k$ нечётное, то $p = 2k+1$ и $p+1=2k+2=2(k+1)$. Так как $k$ нечётное, $k+1$ чётное, значит $p+1$ делится на 4. Если же $k$ чётное, то $p-1$ делится на 4. В любом случае, произведение $(p-1)(p+1)$ содержит множитель 4, поэтому оно кратно 4.

Ответ: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$. Произведение кратно 4, так как $p$ — нечётное число, а $p-1$ и $p+1$ — два последовательных чётных числа, произведение которых всегда содержит множитель 4.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

Рассмотрим произведение $(p - 1)(p + 1)$.
Числа $p-1$, $p$, $p+1$ — это три последовательных натуральных числа. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3.
По условию, $p$ — простое число, большее трёх. Это означает, что само число $p$ не может делиться на 3 (иначе оно не было бы простым, так как было бы кратно 3 и не равно 3).
Поскольку $p$ не делится на 3, то на 3 должно делиться одно из двух соседних с ним чисел: либо $p - 1$, либо $p + 1$.
Если один из множителей ($p - 1$ или $p + 1$) делится на 3, то и всё произведение $(p - 1)(p + 1)$ также делится на 3.

Ответ: Среди трёх последовательных чисел $p-1, p, p+1$ одно кратно 3. Так как $p$ — простое число больше 3, оно не кратно 3. Следовательно, кратно 3 либо $p-1$, либо $p+1$, а значит, и их произведение $(p-1)(p+1)$ кратно 3.

4) Сделайте вывод.

Из пункта 2 мы установили, что выражение $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$ делится на 4.
Из пункта 3 мы установили, что это же выражение делится на 3.
Если число одновременно делится на 3 и на 4, то оно делится и на их произведение, так как числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1).
Произведение $3 \times 4 = 12$.
Следовательно, выражение $p^2 - 1$ всегда делится на 12, если $p$ — простое число, большее трёх.
Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: Утверждение "если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2-1$ кратно 12" является верным.

917. Представьте в виде куба одночлена выражение:

Чтобы представить выражение в виде куба одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в третью степень (в куб) даст исходное выражение. Для этого необходимо извлечь кубический корень из числового коэффициента и разделить показатель степени каждой переменной на 3, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$.

а) Для выражения $27a^3$:
Найдем кубический корень из коэффициента 27: $\sqrt[3]{27} = 3$.
Разделим показатель степени переменной $a$ на 3: $a^{3/3} = a^1 = a$.
Таким образом, искомый одночлен - это $3a$.
Проверка: $(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$.
Ответ: $(3a)^3$

б) Для выражения $-8m^3$:
Найдем кубический корень из коэффициента -8: $\sqrt[3]{-8} = -2$.
Разделим показатель степени переменной $m$ на 3: $m^{3/3} = m^1 = m$.
Таким образом, искомый одночлен - это $-2m$.
Проверка: $(-2m)^3 = (-2)^3 \cdot m^3 = -8m^3$.
Ответ: $(-2m)^3$

в) Для выражения $8b^6$:
Найдем кубический корень из коэффициента 8: $\sqrt[3]{8} = 2$.
Разделим показатель степени переменной $b$ на 3: $b^{6/3} = b^2$.
Таким образом, искомый одночлен - это $2b^2$.
Проверка: $(2b^2)^3 = 2^3 \cdot (b^2)^3 = 8b^6$.
Ответ: $(2b^2)^3$

г) Для выражения $-64p^6$:
Найдем кубический корень из коэффициента -64: $\sqrt[3]{-64} = -4$.
Разделим показатель степени переменной $p$ на 3: $p^{6/3} = p^2$.
Таким образом, искомый одночлен - это $-4p^2$.
Проверка: $(-4p^2)^3 = (-4)^3 \cdot (p^2)^3 = -64p^6$.
Ответ: $(-4p^2)^3$

д) Для выражения $-27a^3x^6$:
Найдем кубический корень из коэффициента -27: $\sqrt[3]{-27} = -3$.
Для переменной $a$: $a^{3/3} = a^1 = a$.
Для переменной $x$: $x^{6/3} = x^2$.
Таким образом, искомый одночлен - это $-3ax^2$.
Проверка: $(-3ax^2)^3 = (-3)^3 \cdot a^3 \cdot (x^2)^3 = -27a^3x^6$.
Ответ: $(-3ax^2)^3$

е) Для выражения $64a^6x^9$:
Найдем кубический корень из коэффициента 64: $\sqrt[3]{64} = 4$.
Для переменной $a$: $a^{6/3} = a^2$.
Для переменной $x$: $x^{9/3} = x^3$.
Таким образом, искомый одночлен - это $4a^2x^3$.
Проверка: $(4a^2x^3)^3 = 4^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (x^3)^3 = 64a^6x^9$.
Ответ: $(4a^2x^3)^3$