Номер 911, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 35. Разложение разности квадратов на множители - номер 911, страница 181.

Условие.

911. Разложите на множители:

а) 9у² − (1 + 2у)²;
б) (3c − 5)² − 16с²;

в) 49x² − (у + 8x)²;
г) (5а − 3b)² − 25а²;

д) (−2а² + 3b)² − 4а⁴;
е) b⁶ − (х − 4b³)².

Решение 1.

а) 9у² − (1 + 2у)² =
= (3y)² - (1 + 2y)² =
= (3y - (1 + 2y)) (3y + (1 + 2y) =
= (3y - 1 - 2y) (3y + 1 + 2y) =
= (y - 1) (5y + 1);

б) (3c − 5)² − 16с² =
= (3c - 5)² - (4c)² =
= (3c - 5 - 4c) (3c - 5 + 4c) =
= (-c - 5) (7c - 5) =
= -(c + 5) (7c - 5) =
= (c + 5) (5 - 7c);

в) 49x² − (у + 8x)² =
= (7x)² - (y + 8x)² =
= (7x - (y + 8x)) (7x + (y + 8x)) =
= (7x - y - 8x) (7x + y + 8x) =
= (-x - y) (15x + y) =
= -(x + y) (15x + y);

г) (5а − 3b)² − 25а² =
= (5a - 3b)² - (5a)² =
= (5a - 3b - 5a) (5a - 3b + 5a) =
= -3b(10a - 3b);

д) (−2а² + 3b)² − 4а⁴ =
= (-2a² + 3b)² - (2a²)² =
= (-2a² + 3b - 2a²) (-2a² + 3b + 2a²) =
= (3b - 4a²) ⋅ 3b;

е) b⁶ − (х − 4b³)² =
= (b³)² - (x - 4b³)² =
= (b³ - (x - 4b³)) (b³ + (x - 4b³)) =
= (b³ - x + 4b³) (b³ + x - 4b³) =
= (5b³ - x) (x - 3b³).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения выражения $9y^2 - (1 + 2y)^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = \sqrt{9y^2} = 3y$ и $B = 1 + 2y$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$9y^2 - (1 + 2y)^2 = (3y)^2 - (1 + 2y)^2 = (3y - (1 + 2y))(3y + (1 + 2y)) = (3y - 1 - 2y)(3y + 1 + 2y) = (y - 1)(5y + 1)$.
Ответ: $(y - 1)(5y + 1)$.

б) Для разложения выражения $(3c - 5)^2 - 16c^2$ на множители применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = 3c - 5$ и $B = \sqrt{16c^2} = 4c$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(3c - 5)^2 - (4c)^2 = ((3c - 5) - 4c)((3c - 5) + 4c) = (3c - 5 - 4c)(3c - 5 + 4c) = (-c - 5)(7c - 5)$.
Ответ: $(-c - 5)(7c - 5)$.

в) Для разложения выражения $49x^2 - (y + 8x)^2$ на множители используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В этом случае $A = \sqrt{49x^2} = 7x$ и $B = y + 8x$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(7x)^2 - (y + 8x)^2 = (7x - (y + 8x))(7x + (y + 8x)) = (7x - y - 8x)(7x + y + 8x) = (-x - y)(15x + y)$.
Ответ: $(-x - y)(15x + y)$.

г) Для разложения выражения $(5a - 3b)^2 - 25a^2$ на множители применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Здесь $A = 5a - 3b$ и $B = \sqrt{25a^2} = 5a$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(5a - 3b)^2 - (5a)^2 = ((5a - 3b) - 5a)((5a - 3b) + 5a) = (5a - 3b - 5a)(5a - 3b + 5a) = (-3b)(10a - 3b)$.
Ответ: $-3b(10a - 3b)$.

д) Для разложения выражения $(-2a^2 + 3b)^2 - 4a^4$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = -2a^2 + 3b$ и $B = \sqrt{4a^4} = 2a^2$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(-2a^2 + 3b)^2 - (2a^2)^2 = ((-2a^2 + 3b) - 2a^2)((-2a^2 + 3b) + 2a^2) = (-2a^2 + 3b - 2a^2)(-2a^2 + 3b + 2a^2) = (-4a^2 + 3b)(3b)$.
Для удобства можно записать так: $3b(3b - 4a^2)$.
Ответ: $3b(3b - 4a^2)$.

е) Для разложения выражения $b^6 - (x - 4b^3)^2$ на множители применим формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
Представим $b^6$ как $(b^3)^2$. Тогда $A = b^3$ и $B = x - 4b^3$.
Подставляем в формулу и упрощаем:
$(b^3)^2 - (x - 4b^3)^2 = (b^3 - (x - 4b^3))(b^3 + (x - 4b^3)) = (b^3 - x + 4b^3)(b^3 + x - 4b^3) = (5b^3 - x)(x - 3b^3)$.
Ответ: $(5b^3 - x)(x - 3b^3)$.