Номер 916, страница 181 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Разложение разности квадратов на множители. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 916, страница 181.

916. (Задача − исследование.) Верно ли утверждение: если р − простое число, большее трёх, то значение выражения р² − 1 кратно 12?
1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.
2) Разложите многочлен р² − 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.
3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.
4) Сделайте вывод.

1) Проверьте правильность утверждения на конкретных примерах.

Возьмем несколько простых чисел $p$, которые больше трёх, и проверим для них значение выражения $p^2 - 1$.
- Пусть $p = 5$. Тогда $p^2 - 1 = 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24$. Число 24 делится на 12 ($24 : 12 = 2$).
- Пусть $p = 7$. Тогда $p^2 - 1 = 7^2 - 1 = 49 - 1 = 48$. Число 48 делится на 12 ($48 : 12 = 4$).
- Пусть $p = 11$. Тогда $p^2 - 1 = 11^2 - 1 = 121 - 1 = 120$. Число 120 делится на 12 ($120 : 12 = 10$).
- Пусть $p = 13$. Тогда $p^2 - 1 = 13^2 - 1 = 169 - 1 = 168$. Число 168 делится на 12 ($168 : 12 = 14$).
На этих примерах утверждение верно.

Ответ: на всех рассмотренных примерах утверждение подтвердилось.

2) Разложите многочлен p? ? 1 на множители. Обсудите, почему полученное произведение кратно 4.

Многочлен $p^2 - 1$ является разностью квадратов, поэтому его можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Теперь обсудим, почему произведение $(p - 1)(p + 1)$ кратно 4.
По условию, $p$ — простое число, большее трёх. Это означает, что $p$ не может быть чётным числом (единственное чётное простое число — это 2, которое не больше 3). Следовательно, $p$ — нечётное число.
Если $p$ — нечётное число, то числа $p - 1$ и $p + 1$ являются двумя последовательными чётными числами.
Например, если $p=5$, то $p-1=4$ и $p+1=6$. Если $p=7$, то $p-1=6$ и $p+1=8$.
Поскольку $p-1$ и $p+1$ — два последовательных чётных числа, то одно из них делится на 2, а другое — на 4. Например, если $p-1 = 2k$ и $k$ нечётное, то $p = 2k+1$ и $p+1=2k+2=2(k+1)$. Так как $k$ нечётное, $k+1$ чётное, значит $p+1$ делится на 4. Если же $k$ чётное, то $p-1$ делится на 4. В любом случае, произведение $(p-1)(p+1)$ содержит множитель 4, поэтому оно кратно 4.

Ответ: $p^2 - 1 = (p-1)(p+1)$. Произведение кратно 4, так как $p$ — нечётное число, а $p-1$ и $p+1$ — два последовательных чётных числа, произведение которых всегда содержит множитель 4.

3) Обсудите, почему полученное произведение делится на 3.

Рассмотрим произведение $(p - 1)(p + 1)$.
Числа $p-1$, $p$, $p+1$ — это три последовательных натуральных числа. Среди любых трёх последовательных натуральных чисел одно обязательно делится на 3.
По условию, $p$ — простое число, большее трёх. Это означает, что само число $p$ не может делиться на 3 (иначе оно не было бы простым, так как было бы кратно 3 и не равно 3).
Поскольку $p$ не делится на 3, то на 3 должно делиться одно из двух соседних с ним чисел: либо $p - 1$, либо $p + 1$.
Если один из множителей ($p - 1$ или $p + 1$) делится на 3, то и всё произведение $(p - 1)(p + 1)$ также делится на 3.

Ответ: Среди трёх последовательных чисел $p-1, p, p+1$ одно кратно 3. Так как $p$ — простое число больше 3, оно не кратно 3. Следовательно, кратно 3 либо $p-1$, либо $p+1$, а значит, и их произведение $(p-1)(p+1)$ кратно 3.

4) Сделайте вывод.

Из пункта 2 мы установили, что выражение $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$ делится на 4.
Из пункта 3 мы установили, что это же выражение делится на 3.
Если число одновременно делится на 3 и на 4, то оно делится и на их произведение, так как числа 3 и 4 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1).
Произведение $3 \times 4 = 12$.
Следовательно, выражение $p^2 - 1$ всегда делится на 12, если $p$ — простое число, большее трёх.
Таким образом, исходное утверждение верно.

Ответ: Утверждение "если $p$ — простое число, большее трёх, то значение выражения $p^2-1$ кратно 12" является верным.