Номер 921, страница 183 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 921, страница 183.

Условие.

921. Разложите на множители многочлен:

а) х³ + у³;
б) m³ − n³;

в) 8 + а³;
г) 27 − у³;

д) t³ + 1;
е) 1 − с³.

Решение 1.

а) х³ + у³ = (x + y) (x² - xy + y²);

б) m³ − n³ =
= (m - n) (m² + mn + n²);

в) 8 + а³ = 2³ + a³ =
= (2 + a) (4 - 2a + a²);

г) 27 − у³ = 3³ - y³ =
= (3 - y) (9 + 3y + y²);

д) t³ + 1 = (t + 1) (t² - t + 1);

е) 1 − с³ = (1 - c) (1 + c + c²).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Для разложения многочлена $x^3 + y^3$ на множители используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В данном выражении $a = x$ и $b = y$.
Применяя формулу, получаем:
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$.
Ответ: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$.

б) Для разложения многочлена $m^3 - n^3$ на множители используется формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В данном выражении $a = m$ и $b = n$.
Применяя формулу, получаем:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

в) Чтобы разложить многочлен $8 + a^3$, сначала представим число 8 как куб числа: $8 = 2^3$.
Теперь выражение имеет вид $2^3 + a^3$, что является суммой кубов.
Используем формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = 2$ и $B = a$.
$2^3 + a^3 = (2 + a)(2^2 - 2 \cdot a + a^2) = (2 + a)(4 - 2a + a^2)$.
Ответ: $(2 + a)(4 - 2a + a^2)$.

г) Чтобы разложить многочлен $27 - y^3$, сначала представим число 27 как куб числа: $27 = 3^3$.
Теперь выражение имеет вид $3^3 - y^3$, что является разностью кубов.
Используем формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 3$ и $B = y$.
$3^3 - y^3 = (3 - y)(3^2 + 3 \cdot y + y^2) = (3 - y)(9 + 3y + y^2)$.
Ответ: $(3 - y)(9 + 3y + y^2)$.

д) Для разложения многочлена $t^3 + 1$ представим 1 как куб: $1 = 1^3$.
Выражение принимает вид $t^3 + 1^3$, что является суммой кубов.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = t$ и $B = 1$.
$t^3 + 1^3 = (t + 1)(t^2 - t \cdot 1 + 1^2) = (t + 1)(t^2 - t + 1)$.
Ответ: $(t + 1)(t^2 - t + 1)$.

е) Для разложения многочлена $1 - c^3$ представим 1 как куб: $1 = 1^3$.
Выражение принимает вид $1^3 - c^3$, что является разностью кубов.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = 1$ и $B = c$.
$1^3 - c^3 = (1 - c)(1^2 + 1 \cdot c + c^2) = (1 - c)(1 + c + c^2)$.
Ответ: $(1 - c)(1 + c + c^2)$.