Номер 928, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 5. Формулы сокращенного умножения. Параграф 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. 36. Разложение на множители суммы и разности кубов - номер 928, страница 184.

Условие.

928. Представьте в виде произведения:

а) а³b³ − 1;
б) 1 + х³y³;

в) 8 − а³с³;
г) m³n³ + 27;

д) х⁶у³ − с³;
е) а³ − m³n⁹.

Решение 1.

а) а³b³ − 1 = (ab)³ - 1³ =
= (ab - 1) (a²b² + ab + 1);

б) 1 + х³y³ = 1³ + (xy)³ =
= (1 + xy) (1 - xy + x²y²);

в) 8 − а³с³ = 2³ - (ac)³ =
= (2 - ac) (4 + 2ac + a²c²);

г) m³n³ + 27 = (mn)³ + 3³ =
= (mn + 3) (m²n² - 3mn + 9);

д) х⁶у³ − с³ = (x²y)³ - c³ =
= (x²y - c) (x⁴y² + x²yc + c²);

е) а³ − m³n⁹ = a³ - (mn³)³ =
= (a - mn³) (a² + amn³ + m²n⁶).

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

а) $a^3b^3 - 1$

Представим данное выражение как разность кубов. Заметим, что $a^3b^3 = (ab)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(ab)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = ab$ и $B = 1$:

$(ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

б) $1 + x^3y^3$

Представим выражение как сумму кубов. Заметим, что $x^3y^3 = (xy)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $1^3 + (xy)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A = 1$ и $B = xy$:

$1^3 + (xy)^3 = (1 + xy)(1^2 - 1 \cdot xy + (xy)^2) = (1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$.

Ответ: $(1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$.

в) $8 - a^3c^3$

Представим выражение как разность кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $a^3c^3 = (ac)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $2^3 - (ac)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = 2$ и $B = ac$:

$2^3 - (ac)^3 = (2 - ac)(2^2 + 2 \cdot ac + (ac)^2) = (2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$.

Ответ: $(2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$.

г) $m^3n^3 + 27$

Представим выражение как сумму кубов. Заметим, что $m^3n^3 = (mn)^3$ и $27 = 3^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(mn)^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A = mn$ и $B = 3$:

$(mn)^3 + 3^3 = (mn + 3)((mn)^2 - mn \cdot 3 + 3^2) = (mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$.

Ответ: $(mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$.

д) $x^6y^3 - c^3$

Представим выражение как разность кубов. Заметим, что $x^6y^3 = (x^2)^3y^3 = (x^2y)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(x^2y)^3 - c^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = x^2y$ и $B = c$:

$(x^2y)^3 - c^3 = (x^2y - c)((x^2y)^2 + x^2y \cdot c + c^2) = (x^2y - c)(x^4y^2 + cx^2y + c^2)$.

Ответ: $(x^2y - c)(x^4y^2 + cx^2y + c^2)$.

е) $a^3 - m^3n^9$

Представим выражение как разность кубов. Заметим, что $n^9 = (n^3)^3$, следовательно $m^3n^9 = m^3(n^3)^3 = (mn^3)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $a^3 - (mn^3)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = a$ и $B = mn^3$:

$a^3 - (mn^3)^3 = (a - mn^3)(a^2 + a \cdot mn^3 + (mn^3)^2) = (a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$.

Ответ: $(a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$.