Номер 927, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

36. Разложение на множители суммы и разности кубов. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 927, страница 184.

927. Запишите в виде произведения:

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения, а именно сумма и разность кубов:

• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$
• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$

а)

Перепишем исходное выражение $-x^3 + y^3$, поменяв слагаемые местами, чтобы оно соответствовало виду формулы разности кубов: $y^3 - x^3$.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=y$ и $B=x$.
Подставив значения в формулу, получаем: $y^3 - x^3 = (y-x)(y^2 + y \cdot x + x^2)$.
Запишем многочлен во второй скобке в стандартном виде: $(y-x)(x^2 + xy + y^2)$.
Ответ: $(y-x)(x^2+xy+y^2)$

б)

В выражении $-8 - p^3$ вынесем знак минус за скобки: $-(8 + p^3)$.
Выражение в скобках является суммой кубов, так как $8=2^3$. Получаем: $-(2^3 + p^3)$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A=2$ и $B=p$.
Подставив значения в формулу, получаем: $-(2+p)(2^2 - 2 \cdot p + p^2) = -(2+p)(4 - 2p + p^2)$.
Ответ: $-(2+p)(4-2p+p^2)$

в)

Перепишем исходное выражение $-a^6 + \frac{1}{8}$, поменяв слагаемые местами: $\frac{1}{8} - a^6$.
Представим это выражение в виде разности кубов, учитывая, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$. Получаем: $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{2}$ и $B = a^2$.
Подставив значения, получаем: $(\frac{1}{2} - a^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2) = (\frac{1}{2} - a^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$

г)

В выражении $-\frac{1}{27} - b^6$ вынесем знак минус за скобки: $-(\frac{1}{27} + b^6)$.
Представим выражение в скобках как сумму кубов, так как $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $b^6 = (b^2)^3$. Получаем: $-((\frac{1}{3})^3 + (b^2)^3)$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{3}$ и $B = b^2$.
Подставив значения, получаем: $-(\frac{1}{3} + b^2)((\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} \cdot b^2 + (b^2)^2) = -(\frac{1}{3} + b^2)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}b^2 + b^4)$.
Ответ: $-(\frac{1}{3}+b^2)(\frac{1}{9}-\frac{1}{3}b^2+b^4)$

д)

Представим выражение $c^6 + 1$ в виде суммы кубов, учитывая, что $c^6 = (c^2)^3$ и $1 = 1^3$. Получаем: $(c^2)^3 + 1^3$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = c^2$ и $B = 1$.
Подставив значения, получаем: $(c^2 + 1)((c^2)^2 - c^2 \cdot 1 + 1^2) = (c^2+1)(c^4-c^2+1)$.
Ответ: $(c^2+1)(c^4-c^2+1)$

е)

Представим выражение $x^6 + y^6$ в виде суммы кубов, учитывая, что $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Получаем: $(x^2)^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = x^2$ и $B = y^2$.
Подставив значения, получаем: $(x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.
Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$