Страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

925. Запишите в виде произведения выражение:

а) Чтобы разложить на множители выражение $x^3 - y^6$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $y^6 = (y^2)^3$. Тогда выражение можно записать как $x^3 - (y^2)^3$.
Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a = x$ и $b = y^2$.
Подставив в формулу, получим:
$x^3 - (y^2)^3 = (x - y^2)(x^2 + x \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.
Ответ: $(x - y^2)(x^2 + xy^2 + y^4)$.

б) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 + b^3$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$. Тогда выражение можно записать как $(a^2)^3 + b^3$.
Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = a^2$ и $b = b$.
Подставив в формулу, получим:
$(a^2)^3 + b^3 = (a^2 + b)((a^2)^2 - a^2 \cdot b + b^2) = (a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.
Ответ: $(a^2 + b)(a^4 - a^2b + b^2)$.

в) Чтобы разложить на множители выражение $m^9 - n^3$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $m^9 = (m^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $(m^3)^3 - n^3$.
Применим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
В нашем случае $a = m^3$ и $b = n$.
Подставив в формулу, получим:
$(m^3)^3 - n^3 = (m^3 - n)((m^3)^2 + m^3 \cdot n + n^2) = (m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.
Ответ: $(m^3 - n)(m^6 + m^3n + n^2)$.

г) Чтобы разложить на множители выражение $p^3 + k^9$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $k^9 = (k^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $p^3 + (k^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = p$ и $b = k^3$.
Подставив в формулу, получим:
$p^3 + (k^3)^3 = (p + k^3)(p^2 - p \cdot k^3 + (k^3)^2) = (p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.
Ответ: $(p + k^3)(p^2 - pk^3 + k^6)$.

д) Чтобы разложить на множители выражение $a^6 + b^9$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $a^6 = (a^2)^3$ и $b^9 = (b^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $(a^2)^3 + (b^3)^3$.
Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
В нашем случае $a = a^2$ и $b = b^3$.
Подставив в формулу, получим:
$(a^2)^3 + (b^3)^3 = (a^2 + b^3)((a^2)^2 - a^2 \cdot b^3 + (b^3)^2) = (a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.
Ответ: $(a^2 + b^3)(a^4 - a^2b^3 + b^6)$.

е) Чтобы разложить на множители выражение $x^9 - y^9$, представим его в виде разности кубов. Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$ и $y^9 = (y^3)^3$. Тогда выражение можно записать как $(x^3)^3 - (y^3)^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, где $a = x^3$ и $b = y^3$:
$(x^3)^3 - (y^3)^3 = (x^3 - y^3)((x^3)^2 + x^3y^3 + (y^3)^2) = (x^3 - y^3)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Множитель $(x^3 - y^3)$ также можно разложить по формуле разности кубов:
$x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Таким образом, окончательное разложение имеет вид:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.
Ответ: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)(x^6 + x^3y^3 + y^6)$.

926. Разложите на множители:

а) с³ + b⁶;
б) а⁹ − b⁶;
в) х⁶ − 8;
г) 27 + у⁹.

а) $c^3 + b^6$

Для разложения на множители представим данное выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $b^6$ можно записать как $(b^2)^3$.

Таким образом, исходное выражение принимает вид $c^3 + (b^2)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В нашем случае, $A = c$ и $B = b^2$.

Подставим эти значения в формулу:

$c^3 + (b^2)^3 = (c + b^2)(c^2 - c \cdot b^2 + (b^2)^2) = (c + b^2)(c^2 - cb^2 + b^4)$.

Ответ: $(c + b^2)(c^2 - cb^2 + b^4)$.

б) $a^9 - b^6$

Для разложения на множители представим это выражение в виде разности кубов. Заметим, что $a^9 = (a^3)^3$ и $b^6 = (b^2)^3$.

Таким образом, выражение можно переписать как $(a^3)^3 - (b^2)^3$.

Применим формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

В данном случае, $A = a^3$ и $B = b^2$.

Подставляем эти значения в формулу:

$(a^3)^3 - (b^2)^3 = (a^3 - b^2)((a^3)^2 + a^3 \cdot b^2 + (b^2)^2) = (a^3 - b^2)(a^6 + a^3b^2 + b^4)$.

Ответ: $(a^3 - b^2)(a^6 + a^3b^2 + b^4)$.

в) $x^6 - 8$

Представим данное выражение в виде разности кубов. Заметим, что $x^6 = (x^2)^3$ и $8 = 2^3$.

Следовательно, исходное выражение можно записать в виде $(x^2)^3 - 2^3$.

Используем формулу разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

Здесь $A = x^2$ и $B = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$(x^2)^3 - 2^3 = (x^2 - 2)((x^2)^2 + x^2 \cdot 2 + 2^2) = (x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)$.

Ответ: $(x^2 - 2)(x^4 + 2x^2 + 4)$.

г) $27 + y^9$

Представим это выражение в виде суммы кубов. Заметим, что $27 = 3^3$ и $y^9 = (y^3)^3$.

Таким образом, выражение принимает вид $3^3 + (y^3)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

В этом примере $A = 3$ и $B = y^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$3^3 + (y^3)^3 = (3 + y^3)(3^2 - 3 \cdot y^3 + (y^3)^2) = (y^3 + 3)(9 - 3y^3 + y^6)$.

Ответ: $(y^3 + 3)(y^6 - 3y^3 + 9)$.

927. Запишите в виде произведения:

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения, а именно сумма и разность кубов:

• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$
• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$

Перепишем исходное выражение $-x^3 + y^3$, поменяв слагаемые местами, чтобы оно соответствовало виду формулы разности кубов: $y^3 - x^3$.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=y$ и $B=x$.
Подставив значения в формулу, получаем: $y^3 - x^3 = (y-x)(y^2 + y \cdot x + x^2)$.
Запишем многочлен во второй скобке в стандартном виде: $(y-x)(x^2 + xy + y^2)$.
Ответ: $(y-x)(x^2+xy+y^2)$

В выражении $-8 - p^3$ вынесем знак минус за скобки: $-(8 + p^3)$.
Выражение в скобках является суммой кубов, так как $8=2^3$. Получаем: $-(2^3 + p^3)$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A=2$ и $B=p$.
Подставив значения в формулу, получаем: $-(2+p)(2^2 - 2 \cdot p + p^2) = -(2+p)(4 - 2p + p^2)$.
Ответ: $-(2+p)(4-2p+p^2)$

Перепишем исходное выражение $-a^6 + \frac{1}{8}$, поменяв слагаемые местами: $\frac{1}{8} - a^6$.
Представим это выражение в виде разности кубов, учитывая, что $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$. Получаем: $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.
Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{2}$ и $B = a^2$.
Подставив значения, получаем: $(\frac{1}{2} - a^2)((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} \cdot a^2 + (a^2)^2) = (\frac{1}{2} - a^2)(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}a^2 + a^4)$.
Ответ: $(\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$

В выражении $-\frac{1}{27} - b^6$ вынесем знак минус за скобки: $-(\frac{1}{27} + b^6)$.
Представим выражение в скобках как сумму кубов, так как $\frac{1}{27} = (\frac{1}{3})^3$ и $b^6 = (b^2)^3$. Получаем: $-((\frac{1}{3})^3 + (b^2)^3)$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = \frac{1}{3}$ и $B = b^2$.
Подставив значения, получаем: $-(\frac{1}{3} + b^2)((\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} \cdot b^2 + (b^2)^2) = -(\frac{1}{3} + b^2)(\frac{1}{9} - \frac{1}{3}b^2 + b^4)$.
Ответ: $-(\frac{1}{3}+b^2)(\frac{1}{9}-\frac{1}{3}b^2+b^4)$

Представим выражение $c^6 + 1$ в виде суммы кубов, учитывая, что $c^6 = (c^2)^3$ и $1 = 1^3$. Получаем: $(c^2)^3 + 1^3$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = c^2$ и $B = 1$.
Подставив значения, получаем: $(c^2 + 1)((c^2)^2 - c^2 \cdot 1 + 1^2) = (c^2+1)(c^4-c^2+1)$.
Ответ: $(c^2+1)(c^4-c^2+1)$

Представим выражение $x^6 + y^6$ в виде суммы кубов, учитывая, что $x^6 = (x^2)^3$ и $y^6 = (y^2)^3$. Получаем: $(x^2)^3 + (y^2)^3$.
Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = x^2$ и $B = y^2$.
Подставив значения, получаем: $(x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.
Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$

928. Представьте в виде произведения:

Для решения этой задачи используются формулы сокращенного умножения для суммы и разности кубов:

• Разность кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$
• Сумма кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

а) $a^3b^3 - 1$

Представим данное выражение как разность кубов. Заметим, что $a^3b^3 = (ab)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(ab)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = ab$ и $B = 1$:

$(ab)^3 - 1^3 = (ab - 1)((ab)^2 + ab \cdot 1 + 1^2) = (ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

Ответ: $(ab - 1)(a^2b^2 + ab + 1)$.

б) $1 + x^3y^3$

Представим выражение как сумму кубов. Заметим, что $x^3y^3 = (xy)^3$ и $1 = 1^3$. Таким образом, выражение принимает вид $1^3 + (xy)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A = 1$ и $B = xy$:

$1^3 + (xy)^3 = (1 + xy)(1^2 - 1 \cdot xy + (xy)^2) = (1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$.

Ответ: $(1 + xy)(1 - xy + x^2y^2)$.

в) $8 - a^3c^3$

Представим выражение как разность кубов. Заметим, что $8 = 2^3$ и $a^3c^3 = (ac)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $2^3 - (ac)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = 2$ и $B = ac$:

$2^3 - (ac)^3 = (2 - ac)(2^2 + 2 \cdot ac + (ac)^2) = (2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$.

Ответ: $(2 - ac)(4 + 2ac + a^2c^2)$.

г) $m^3n^3 + 27$

Представим выражение как сумму кубов. Заметим, что $m^3n^3 = (mn)^3$ и $27 = 3^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(mn)^3 + 3^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $A = mn$ и $B = 3$:

$(mn)^3 + 3^3 = (mn + 3)((mn)^2 - mn \cdot 3 + 3^2) = (mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$.

Ответ: $(mn + 3)(m^2n^2 - 3mn + 9)$.

д) $x^6y^3 - c^3$

Представим выражение как разность кубов. Заметим, что $x^6y^3 = (x^2)^3y^3 = (x^2y)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(x^2y)^3 - c^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = x^2y$ и $B = c$:

$(x^2y)^3 - c^3 = (x^2y - c)((x^2y)^2 + x^2y \cdot c + c^2) = (x^2y - c)(x^4y^2 + cx^2y + c^2)$.

Ответ: $(x^2y - c)(x^4y^2 + cx^2y + c^2)$.

е) $a^3 - m^3n^9$

Представим выражение как разность кубов. Заметим, что $n^9 = (n^3)^3$, следовательно $m^3n^9 = m^3(n^3)^3 = (mn^3)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $a^3 - (mn^3)^3$.

Применим формулу разности кубов, где $A = a$ и $B = mn^3$:

$a^3 - (mn^3)^3 = (a - mn^3)(a^2 + a \cdot mn^3 + (mn^3)^2) = (a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$.

Ответ: $(a - mn^3)(a^2 + amn^3 + m^2n^6)$.

929. Докажите, что значение выражения:
а) 327³ + 173³ делится на 500;
б) 731³ − 631³ делится на 100;
в) 211³ + 129³ делится на 17;
г) 356³ − 245³ делится на 3.

а) Чтобы доказать, что выражение $327^3 + 173^3$ делится на 500, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 327$ и $b = 173$:

$327^3 + 173^3 = (327 + 173)(327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$327 + 173 = 500$

Следовательно, исходное выражение равно:

$500 \cdot (327^2 - 327 \cdot 173 + 173^2)$

Так как один из множителей равен 500, то всё произведение делится на 500. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать, что выражение $731^3 - 631^3$ делится на 100, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 731$ и $b = 631$:

$731^3 - 631^3 = (731 - 631)(731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$731 - 631 = 100$

Следовательно, исходное выражение равно:

$100 \cdot (731^2 + 731 \cdot 631 + 631^2)$

Так как один из множителей равен 100, то всё произведение делится на 100. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Чтобы доказать, что выражение $211^3 + 129^3$ делится на 17, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 211$ и $b = 129$:

$211^3 + 129^3 = (211 + 129)(211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$211 + 129 = 340$

Проверим, делится ли 340 на 17:

$340 \div 17 = 20$

Так как первый множитель (340) делится на 17, то и всё произведение $340 \cdot (211^2 - 211 \cdot 129 + 129^2)$ делится на 17. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Чтобы доказать, что выражение $356^3 - 245^3$ делится на 3, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $a = 356$ и $b = 245$:

$356^3 - 245^3 = (356 - 245)(356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$

Вычислим значение первого множителя:

$356 - 245 = 111$

Проверим, делится ли 111 на 3. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 111 равна $1 + 1 + 1 = 3$. Так как 3 делится на 3, то и 111 делится на 3.

Так как первый множитель (111) делится на 3, то и всё произведение $111 \cdot (356^2 + 356 \cdot 245 + 245^2)$ делится на 3. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

930. Делится ли значение выражения:
а) 38³ + 37³ на 75;
б) 99³ − 74³ на 25?

а) Чтобы определить, делится ли значение выражения $38^3 + 37^3$ на 75, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 38$ и $b = 37$. Подставим эти значения в формулу:

$38^3 + 37^3 = (38 + 37)(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$

Вычислим сумму в первых скобках:

$38 + 37 = 75$

Теперь наше выражение выглядит так:

$38^3 + 37^3 = 75 \cdot (38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$

Так как один из множителей равен 75, а второй множитель $(38^2 - 38 \cdot 37 + 37^2)$ является целым числом, то всё произведение гарантированно делится на 75.

Ответ: да, делится.

б) Чтобы определить, делится ли значение выражения $99^3 - 74^3$ на 25, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a = 99$ и $b = 74$. Подставим эти значения в формулу:

$99^3 - 74^3 = (99 - 74)(99^2 + 99 \cdot 74 + 74^2)$

Вычислим разность в первых скобках:

$99 - 74 = 25$

Теперь наше выражение выглядит так:

$99^3 - 74^3 = 25 \cdot (99^2 + 99 \cdot 74 + 74^2)$

Так как один из множителей равен 25, а второй множитель $(99^2 + 99 \cdot 74 + 74^2)$ является целым числом, то всё произведение гарантированно делится на 25.

Ответ: да, делится.

931. Представьте в виде многочлена:
а) (11с² + а³)(−а³ + 11с²);
б) (0,8х + у⁴)(−0,8х − у⁴);
в) (0,3с − 0,2d)(0,2d − 0,3с);
г) (6х³ − 4х)(−6х³ − 4х).

а) Чтобы представить выражение $(11c^2 + a^3)(-a^3 + 11c^2)$ в виде многочлена, поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы привести его к удобному виду: $(11c^2 + a^3)(11c^2 - a^3)$.

Это выражение является произведением суммы и разности двух выражений и соответствует формуле разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = 11c^2$ и $y = a^3$.

Применим эту формулу:

$(11c^2 + a^3)(11c^2 - a^3) = (11c^2)^2 - (a^3)^2 = 121c^{2 \cdot 2} - a^{3 \cdot 2} = 121c^4 - a^6$.

Ответ: $121c^4 - a^6$.

б) Рассмотрим выражение $(0.8x + y^4)(-0.8x - y^4)$. Вынесем знак минус за скобки во втором множителе:

$(0.8x + y^4) \cdot (-(0.8x + y^4)) = -(0.8x + y^4)^2$.

Теперь используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 0.8x$ и $b = y^4$.

$(0.8x + y^4)^2 = (0.8x)^2 + 2(0.8x)(y^4) + (y^4)^2 = 0.64x^2 + 1.6xy^4 + y^8$.

Так как перед скобкой стоял знак минус, изменим знаки всех слагаемых на противоположные:

$-(0.64x^2 + 1.6xy^4 + y^8) = -0.64x^2 - 1.6xy^4 - y^8$.

Ответ: $-0.64x^2 - 1.6xy^4 - y^8$.

в) Рассмотрим выражение $(0.3c - 0.2d)(0.2d - 0.3c)$. Заметим, что множители отличаются только знаком. Вынесем знак минус из второй скобки:

$(0.3c - 0.2d) \cdot (-(0.3c - 0.2d)) = -(0.3c - 0.2d)^2$.

Теперь используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 0.3c$ и $b = 0.2d$.

$(0.3c - 0.2d)^2 = (0.3c)^2 - 2(0.3c)(0.2d) + (0.2d)^2 = 0.09c^2 - 0.12cd + 0.04d^2$.

Подставим полученный результат, учитывая знак минус перед скобкой:

$-(0.09c^2 - 0.12cd + 0.04d^2) = -0.09c^2 + 0.12cd - 0.04d^2$.

Ответ: $-0.09c^2 + 0.12cd - 0.04d^2$.

г) Чтобы представить выражение $(6x^3 - 4x)(-6x^3 - 4x)$ в виде многочлена, перегруппируем слагаемые в скобках для удобства:

$(-4x + 6x^3)(-4x - 6x^3)$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = -4x$ и $b = 6x^3$.

Применим формулу:

$(-4x)^2 - (6x^3)^2 = 16x^2 - 36(x^3)^2 = 16x^2 - 36x^{3 \cdot 2} = 16x^2 - 36x^6$.

Ответ: $16x^2 - 36x^6$.

932. Докажите, что равенство не является тождеством:
а) х⁴ + 4 = (х + 2)²; б) (х − 2)(2 + х) = 4 − х².

Чтобы доказать, что равенство не является тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение переменной, при котором оно не выполняется (то есть найти контрпример), либо показать, что после алгебраических преобразований левая и правая части не равны друг другу.

а) $x^4 + 4 = (x + 2)^2$

Проверим данное равенство, подставив вместо $x$ произвольное число, например $x=1$.

Вычислим значение левой части равенства при $x=1$:
$1^4 + 4 = 1 + 4 = 5$.

Вычислим значение правой части равенства при $x=1$:
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$.

Поскольку $5 \neq 9$, равенство неверно при $x=1$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что данное равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как, например, при $x=1$ его левая часть равна 5, а правая – 9.

б) $(x - 2)(2 + x) = 4 - x^2$

Преобразуем левую часть равенства. Поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы использовать формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Левая часть: $(x - 2)(2 + x) = (x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.

Теперь сравним преобразованную левую часть с правой частью исходного равенства:

$x^2 - 4$ и $4 - x^2$.

Эти выражения не равны друг другу для всех значений $x$. Например, если подставить $x=1$, то левая часть будет равна $1^2 - 4 = -3$, а правая $4 - 1^2 = 3$. Так как $-3 \neq 3$, равенство не является тождеством.

Ответ: Равенство не является тождеством, так как его левая часть тождественно равна $x^2 - 4$, а правая – $4 - x^2$, что не является одним и тем же выражением.

933. Решите уравнение:
а) (2х − 3)² − 2х(4 + 2х) = 11;
б) (4х − 3)(3 + 4х) − 2х(8х − 1) = 0.

а) $(2x-3)^2-2x(4+2x)=11$. Раскроем скобки в левой части уравнения. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, а для второго — распределительное свойство умножения: $( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 ) - (2x \cdot 4 + 2x \cdot 2x) = 11$. Упростим выражения в скобках: $(4x^2 - 12x + 9) - (8x + 4x^2) = 11$. Раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых на противоположные: $4x^2 - 12x + 9 - 8x - 4x^2 = 11$. Приведем подобные слагаемые: $(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 8x) + 9 = 11$. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются, и уравнение принимает вид: $-20x + 9 = 11$. Перенесем 9 в правую часть уравнения, изменив знак: $-20x = 11 - 9$. Получаем: $-20x = 2$. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -20: $x = \frac{2}{-20} = -\frac{1}{10} = -0.1$.
Ответ: $-0.1$.

б) $(4x-3)(3+4x)-2x(8x-1)=0$. Преобразуем первое произведение, поменяв слагаемые во второй скобке местами: $(4x-3)(4x+3)$. Теперь можно применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Раскроем скобки в уравнении: $( (4x)^2 - 3^2 ) - (2x \cdot 8x - 2x \cdot 1) = 0$. Выполним вычисления: $(16x^2 - 9) - (16x^2 - 2x) = 0$. Раскроем вторые скобки: $16x^2 - 9 - 16x^2 + 2x = 0$. Приведем подобные слагаемые: $(16x^2 - 16x^2) + 2x - 9 = 0$. Слагаемые, содержащие $x^2$, взаимно уничтожаются, и уравнение упрощается до $2x - 9 = 0$. Перенесем -9 в правую часть, изменив знак: $2x = 9$. Найдем $x$, разделив обе части на 2: $x = \frac{9}{2} = 4.5$.
Ответ: $4.5$.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Это одна из ключевых формул сокращённого умножения, которая носит название «разность квадратов».

Соответствующая формула

Если обозначить два произвольных выражения как a и b, то их разность будет $a - b$, а их сумма — $a + b$. Формула для их произведения выглядит следующим образом:
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Доказательство формулы

Для доказательства данного тождества необходимо раскрыть скобки в левой части равенства, используя правило умножения многочленов (каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого):
$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$
Упростим полученное выражение, учитывая, что $a \cdot a = a^2$ и $b \cdot b = b^2$. Также, согласно коммутативному закону умножения, $b \cdot a = a \cdot b$.
Получаем:
$a^2 + ab - ab - b^2$
Слагаемые $ab$ и $-ab$ являются подобными и при сложении взаимно уничтожаются, так как их сумма равна нулю: $ab - ab = 0$.
В результате в выражении остаются только два члена:
$a^2 - b^2$
Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили в точности его правую часть: $a^2 - b^2$. Тождество доказано.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Соответствующая формула: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Разность квадратов двух выражений — это одна из формул сокращённого умножения. Она определяет, как можно разложить на множители выражение, представляющее собой вычитание квадрата одного выражения из квадрата другого.

Словесно это правило формулируется так: разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.

Если мы обозначим два произвольных выражения как $a$ и $b$, то соответствующая формула будет выглядеть следующим образом:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Эта формула широко применяется в алгебре для упрощения выражений, решения уравнений и разложения многочленов на множители.

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму. Соответствующая формула: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Напишите формулу суммы кубов

Формула суммы кубов двух выражений a и b — это одна из формул сокращённого умножения. Она выглядит следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядел бы как $a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Проведите доказательство

Для доказательства тождества $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ необходимо доказать, что его левая и правая части равны. Самый простой способ — раскрыть скобки в правой части формулы и упростить полученное выражение.

Возьмём правую часть формулы: $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Выполним умножение многочлена $(a+b)$ на многочлен $(a^2 - ab + b^2)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$= (a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2) + (b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Сгруппируем подобные члены: $-a^2b$ и $+a^2b$, а также $+ab^2$ и $-ab^2$. Они взаимно уничтожаются:

$= a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $a^3 + b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем алгебраического преобразования правой части формулы $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых она становится равна левой части $a^3 + b^3$, что подтверждает верность тождества.

Формула разности кубов

Формула разности кубов двух чисел $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Доказательство

Для доказательства формулы необходимо доказать, что правая часть тождества равна левой. Для этого раскроем скобки в выражении $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2$

Выполним умножение:

$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $a^3 - b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем тождественного преобразования правой части формулы. Раскрытие скобок в выражении $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и приведение подобных членов приводит к выражению $a^3 - b^3$, что и требовалось доказать.

16t? - 1
Данный многочлен является разностью квадратов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
Представим многочлен в виде разности квадратов:
$16t^2 = (4t)^2$
$1 = 1^2$
Таким образом, в нашей формуле $a = 4t$, а $b = 1$.
Подставим значения в формулу:
$16t^2 - 1 = (4t)^2 - 1^2 = (4t - 1)(4t + 1)$.
Ответ: $(4t - 1)(4t + 1)$

p? + 8
Этот многочлен представляет собой сумму кубов. Для разложения используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.
Представим многочлен в виде суммы кубов:
$p^3$ — это куб переменной $p$.
$8 = 2^3$
Следовательно, $a = p$, а $b = 2$.
Применим формулу:
$p^3 + 8 = p^3 + 2^3 = (p + 2)(p^2 - p \cdot 2 + 2^2) = (p + 2)(p^2 - 2p + 4)$.
Ответ: $(p + 2)(p^2 - 2p + 4)$

m? - 27
Данный многочлен является разностью кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Представим многочлен в виде разности кубов:
$m^3$ — это куб переменной $m$.
$27 = 3^3$
Значит, $a = m$, а $b = 3$.
Подставим значения в формулу:
$m^3 - 27 = m^3 - 3^3 = (m - 3)(m^2 + m \cdot 3 + 3^2) = (m - 3)(m^2 + 3m + 9)$.
Ответ: $(m - 3)(m^2 + 3m + 9)$