Номер 3, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 3, страница 184.

3 Напишите формулу суммы кубов. Проведите доказательство.

Напишите формулу суммы кубов

Формула суммы кубов двух выражений a и b — это одна из формул сокращённого умножения. Она выглядит следующим образом:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Выражение $a^2 - ab + b^2$ называется неполным квадратом разности, так как полный квадрат разности выглядел бы как $a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Проведите доказательство

Для доказательства тождества $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ необходимо доказать, что его левая и правая части равны. Самый простой способ — раскрыть скобки в правой части формулы и упростить полученное выражение.

Возьмём правую часть формулы: $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Выполним умножение многочлена $(a+b)$ на многочлен $(a^2 - ab + b^2)$, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$= (a \cdot a^2 - a \cdot ab + a \cdot b^2) + (b \cdot a^2 - b \cdot ab + b \cdot b^2)$

$= (a^3 - a^2b + ab^2) + (a^2b - ab^2 + b^3)$

Уберем скобки и приведем подобные слагаемые:

$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$

Сгруппируем подобные члены: $-a^2b$ и $+a^2b$, а также $+ab^2$ и $-ab^2$. Они взаимно уничтожаются:

$= a^3 + (-a^2b + a^2b) + (ab^2 - ab^2) + b^3 = a^3 + 0 + 0 + b^3 = a^3 + b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $a^3 + b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем алгебраического преобразования правой части формулы $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых она становится равна левой части $a^3 + b^3$, что подтверждает верность тождества.