Номер 4, страница 184 - гдз по алгебре 7 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. § 12. Разность квадратов. Сумма и разность квадратов. Глава 5. Формулы сокращенного умножения - номер 4, страница 184.

4 Напишите формулу разности кубов. Проведите доказательство.

Формула разности кубов

Формула разности кубов двух чисел $a$ и $b$ выглядит следующим образом:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Словесно эта формула читается так: разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Доказательство

Для доказательства формулы необходимо доказать, что правая часть тождества равна левой. Для этого раскроем скобки в выражении $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена.

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2)$

Теперь раскроем скобки:

$a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2$

Выполним умножение:

$a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3$

Приведем подобные слагаемые. Члены $a^2b$ и $-a^2b$ взаимно уничтожаются, так же как и члены $ab^2$ и $-ab^2$.

$a^3 + (a^2b - a^2b) + (ab^2 - ab^2) - b^3 = a^3 + 0 + 0 - b^3 = a^3 - b^3$

В результате преобразования правой части мы получили левую часть: $a^3 - b^3$. Тождество доказано.

Ответ: Доказательство проведено путем тождественного преобразования правой части формулы. Раскрытие скобок в выражении $(a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и приведение подобных членов приводит к выражению $a^3 - b^3$, что и требовалось доказать.